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1、 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一) 教学目标 1.使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念； 2.使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题； 3.培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的 旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点.教学过程设计 一、创设情景，引入新课 圆是轴对称图形.圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题.今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性. 1.动态演示，发现规律 投影出示图7
2、-47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180后.问： (1)结果怎样? 学生答：和原来的平行四边形重合. (2)这样的图形叫做什么图形? 学生答：中心对称图形. 投影出示图7-48，并动态显示：O绕圆心O旋转180.由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形. 投影继续演示如图7-49，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30，45，90，让学生观察发现什么结论? 得出：不论绕圆心旋转多度，都能够和原来的图形重合. 进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度，你发现什么? 学生答：仍然与原来的图表重合. 于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性.即圆绕圆心旋转任意
3、一个角度，都能够与原来的图形重合.2.圆心角，弦心距的概念 我们在研究圆的旋转不变性时，O绕圆心O旋转任意角度后，出现一个角AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点?如图7-50.(如有条件可电脑闪动显示图形.) 在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上. 在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书. 顶点在圆心的角叫做圆心角. 再进一步观察，是AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角AOB也是AB所对的弦.请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么? 学生答：过圆心O作弦AB的垂线. 在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离
4、叫弦心距.如图7-51.(教师板书定义)最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系.(引出课题) 二、大胆猜想，发现定理 在图7-52中，再画一圆心角AOB，如果AOBAOB，(变化显示两角相等)再作出它们所对的弦AB，AB和弦的弦心距OM，OM，请大家大胆猜想，其余三组量与，弦AB与AB，弦心距OM与OM的大小关系如何? 学生很容易猜出：，ABAB，OMOM. 教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢? 学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到，怎样证明弧相等呢? 让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么?
5、 学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧. 请同学们想一想，你用什么方法让和重合呢? 学生：旋转. 下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明. 把AOB连同旋转，使OA与OA重合，电脑开始显示旋转过程，教师边演示边提问. 我们发现射线OB与射线OB也会重合，为什么? 学生：因为AOBAOB， 所以射线OB与射线OB重合. 要证明与重合，关键在于点A与点A，点B与点B是否分别重合.这两对点分别重合吗? 学生：重合. 你能说明理由吗? 学生：因为OAOA，OBOB， 所以点A与点A重合，点B与点B重合. 当两段弧的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢? 学生：与重合，弦AB与AB重合，OM
6、与OM重合. 为什么OM也与OM重合呢? 学生：根据垂线的唯一性. 于是有结论：，ABAB，OMOM. 以上证明运用了圆的旋转不变性.得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题.教师板书定理. 定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 教师引导学生补全定理内容. 投影显示如图7-53，O与O为等圆，AOBAOB，OM与OM分别为AB与AB的弦心距，请学生回答与，AB与AB，OM与OM还相等吗?为什么? 在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆.(投影显示叠合过程) 这样通过叠合，把等圆转化成了同圆
7、，教师把定理补充完整. 然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么?并回答：. 条件 结论 圆心角所对弧相等； 在同圆或等圆中 圆心角所对弦相等； 圆心角相等 圆心角所对弦的弦心距相等. 定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗?如何证明? 在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法. 最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论. 请学生归纳，教师板书. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应
8、的其余各组量都分别相等.三、巩固应用、变式练习 例1 判断题，下列说明正确吗?为什么? (1)如图7-54：因为AOBAOB， 所以. (2)在O和O中，如果弦ABAB.那么= 分析：(1)、(2)都是不对的.在图7-54中，因为和不在同圆或等圆中，不能用定理.对于(2)也缺少了等圆的条件.可让学生举反例说明.例2 例2 如图7-55，点P在O上，点O在EPF的角平分线上，EPF的两边交O于点A和B.求证：PAPB. 让学生先思考，再叙述思路，教师板书示范. 证明：作OMPA，ONPB，垂足为M，N. APOBPO OMPA . OMON . PAPB. ONPB 把P点当做运动的点，将例2演
9、变如下：变式1 (投影打出) 已知：如图7-56，点O在EPF的平分线上，O和EPF的两边分别交于点A，B和C，D. 求证：ABCD. 变式2 (投影打出) 已知：如图7-57，O的弦AB，CD相交于点P，APOCPO， 求证：ABCD. 由学生口述证题思路. 说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，也可利用其它方法来证，只不过前者较为简便. 练习1 已知：如图7-58，ADBC. 求证：ABCD. 师生共同分析后，学生练习，一学生上黑板板演. 变式练习.已知：如图7-58，ADBC，求证：ABCD. 四、师生共同小结 教师提问： (1)这节课学习了哪些具体内容? (2)本节
10、的定理和推论是用什么方法来证明的? (3)应注意哪些问题? 在学生回答的基础上，教师总结. (1)这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形.得到圆的特性圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论.这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据.（2）本节通过观察猜想论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想.（3）在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件 五、布置作业 课本p.99.习题7.2.A组.1(1)，2，3，.4. 思考题：已知AB和CD是O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果ABCD，那么OM和ON有什么关系?为什么?板书设计
