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1、概率论与数理统计第6讲（夜大）第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量概率与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律的。为了抽象到数学的推导和计算，必须要把随机事件数量化。当我们进行某种实验和观测时，由于随机因素的影响，试验结果也不一样，我们把一个随机试验的不同结果用一个变量来表示时，就是随机变量。顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件，机会表现为实验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一定的概率。一个简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，2，6等6个值。到底是哪一个，要等掷了骰子以后才能
2、知道。因此也可以说，随机变量就是试验结果的函数。再比如，一开始我们介绍的抛掷硬币三次的随机试验，如果我们关心出现正面的情况，我们就可以用一个变量来表示出现正面的次数，样本点HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTTX 值 3 2 2 1 1 1 1 0这样，变量取不同的数，就对应不同的样本点，从而我们就通过这个变量建立了样本点和数字之间的一个对应关系，也就是数学中的函数关系。定义：设随机试验的样本空间为。是定义在样本空间S上的实值单值函数。称为随机变量。随机变量建立了样本点与实数之间的单值对应关系。随机变量的取值随试验结果而定，而试验的各个结果的出现是有一定概率的。因而随机
3、变量的取值就有一定的概率。例如，上面例子中类似地，有 一般地，若L是一个实数集合，将X在L上取值写成（）。它表示事件，即B是由S中使得的所有样本点所组成的事件，此时有 随机变量的特点：（1）随机变量的取值具有随机性。随机变量是随着试验结果而变的量。在一次实验中，若出现样本点，则X就取实数值X（）。由于在一次实验中出现哪一个样本点事先不能预知，因而X的值也就不能事先确定。（2）随机变量的取值具有一定的概率，即具有统计规律性。（3）随机变量是定义在样本空间S上的函数。与普通函数相比，它们都可以看成是随自变量变化的因变量，其值域也都是实数或其子集。但是，普通函数的定义域是实数集，而随机变量的定义域是
4、样本空间S。也就是说，随机变量是从样本空间到某实数集的一个单值映射。第二节 离散型随机变量及其分布律有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。容易知道，要掌握一个离散型随机变量X的统计规律，必须且只需知道X的所有可能取的值以及取每一个可能值的概率。设离散型随机变量X所有可能取的值为，X取各个可能值的概率，即事件的概率，为 由概率的定义，满足如下两个条件：（1） ；（2） 。（2）是由于是必然事件，且故即。我们称上述表达式为离散型随机变量X的分布律。分布律也可以用表格的形式表示：这个表格直观地表示了随机变量X取各个值的概率的规律。X取各个值各
5、占一些概率，这些概率加起来是1，可以想象成：概率1以一定的规律分布在各个可能值上。这就是上式称为分布律的缘故。例1 常数时，为离散型随机变量的分布律。（1） 2；（2）1；（3）1/2；（4）3解：因为数列为离散型随机变量的分布律，所以有从而。所以选（2）。 下面介绍三种重要的离散型随机变量。 （一） （01）分布 设随机变量X只可能取值0和1，它的分布律为 则称X服从（01）分布或两点分布。 （01）分布的分布律可以写成 01 对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在S上定义一个服从（01）分布的随机变量来描述这个随机试验的结果。例如对新生婴儿的性别进行登记，检查产品
6、是否合格，抛掷硬币试验等等都可以用（01）分布的随机变量来描述。（01）分布是经常遇到的一种分布。 （二） 贝努利试验、二项分布 设试验E只有两个可能结果：和，则称E为贝努利试验。设，此时。将E独立地重复进行次，则称这一串重复进行的独立试验为重贝努力试验。需要说明的是，这里的“重复”是指在每次实验中保持不变；“独立”是指各次试验的结果互不影响，即若以表示第次试验的结果，为或，“独立”是指 重贝努利试验是一种很重要的数学模型，它有广泛的应用，是研究最多的模型之一。以X表示重贝努利试验试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能取的值为0，1，。由于各次试验相互独立，因
7、此事件A在指定的次试验中发生，在其他次试验中A不发生的概率为这种指定的方式共有种，它们是两两互不相容的，故在次试验中A发生次的概率为，记，即有 显然 ； 注意到刚好是二项式的展开式出现的那一项，故我们称随机变量X服从参数为的二项分布，记为。 特别，当时，二项分布就化为（01）分布。 例2 从学校到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，并且概率都是1/3。（1）设X为遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律；（2）令Y表示汽车行驶过程中在停止前所经过的路口数，求Y的分布律；（3）求从学校到火车站途中至少遇到一次红灯的概率。 解：（1）X服从二项分布B（6，1/3），X的可能
8、取值为0，1，6。X0123456P64/729192/729240/729160/72960/72912/7291/729 （2）Y的取值为0，1，6，其分布律为Y0123456P1/32/94/278/8116/24332/72964/729 （3）P（至少遇到一次红灯） （三）泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0，1，而取各个值的概率为 其中为常数。则称X服从参数为的泊松分布，记为。 易知它满足分布律的两个性质。，且有 具有泊松分布的随机变量在实际当中有很多的应用，它适用于排队系统的描述。 对于泊松分布，它有一个重要的性质。即 其中。 证明： 所以 这个性质表明泊松分布就是二项分布的极
9、限分布。 例3 在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0。002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费。而在死亡时家属可以从保险公司里领取2000元赔偿金。求（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率。 解：（1）以“年”为单位，保险公司总收入为2500*12=30000元。设一年死亡人数为X，则，且保险公司在这一年中应付出赔偿金2000X元，若亏本，则须（人）因此 P保险公司亏本因为很大，P很小，因此可以用参数为的泊松分布近似代替二项分布，则有 由此可见保险公司在1年里亏本的概率是很小的。（2）P保险公司获利不少于10000元=P30000-2000X10000=PX10即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上。P保险公司获利不少于10000元=P30000-2000X20000=PX5即保险公司获利不少于20000元的概率接近于62%。 以上结果说明了保险公司为什么乐于开展保险业务的原因。作业：P129，1、2，3，4，5，6
