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1、 第二讲 数论专题第二讲 数论专题知识梳理 数论专题在小升初考试和各大数学竞赛中占统治性地位，只有数论才能用最简洁的文字命出最难的试题。数论主要考察学生的数感，对数字特征，数字变换，数字组合，数字分拆，数字关联要求要有完整的知识体系并能够由此及彼，综合运用，分析推理。 我们常见的形式有数字谜，计数，行程，综合应用题等。涉及到我们学过的因数、倍数、余数、分解质因数、整除性等知识点。所以要求同学们一定打好基础，熟练掌握，才能灵活应用。解决数论题目的主要方式就是分解质因数(把合数表示质数乘积的形式)，我们一定要有分拆、分解、分类讨论的思想意识。1、整除的特征：（1）2的倍数特征：末位数是0、2、4、
2、6、8的数.（2）3、9的倍数特征：各位数之和是3的倍数或9的倍数.（3）5的倍数特征：末位数是0或5.（4）4的倍数特征：末两位数是4的倍数.（5）8的倍数特征：末3位数是8的倍数.（6）11的倍数特征：奇位数字之和与偶位数字之和的差是0或11的倍数.（7）7、11、13的倍数特征：末三位数字组成的三位数与其它各位数字组成的多位数的差是7、11、13的倍数.2、分解质因数：指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。唯一分解定理：N=a1p1a2p2anpn(a1、a2an均为N的不同质因数)那么N的因数个数n=（1+p1）(1+p2) (1+pn)3、辗转相除法求最大公因数辗转相除法主要
3、针对两个较大数求最大公因数而言的。就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数r2以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。典型例题 例1求9600共有多少个因数？【巩固练习】求1200和450各有多少个因数？ 例2求2821和1519的最大公因数。 【巩固练习】求5890和6327的最大公因数。 例3七位数A1994BC能被9,5和8整除，试确定数字A、B、C的值。【巩固练习】如果五位数436是45的倍数，那么这个五位数是多少？ 例4 要使1858413552（ ）乘积的末五位数都是0，（ ）中应填入的自然数最小值是多少？ 【巩固练习】（ ）的
4、积的最后五位都是0，那么括号内填入的自然数最小是多少？ 例5有一个三位数，被4除余1，被5除余4，被7除余2，这个最小的三位数是多少？ 【巩固练习】一个三位数被11除余10，被6除余4，被4除余2，这个三位数最小是多少？ 例6 630乘一个自然数a,得到一个完全平方数，求a的最小值。 【巩固练习】 自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，求a的最小值以及b。 例7 有一个整数，用它去除70、110、160所得的三个余数之和是50，这个整数是多少？ 【巩固练习】有一个整数，用它去除82、165、240后所得的三个余数之和是13，这个整数是多少？ 例8 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶
5、和其他各瓶分别合称一次,记录千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?【巩固练习】 如果a、b均为质数，并且3a+7b=41，求a和b。 例9 自然数a1、 a2、 a3 。 a9、a10的和是1001，设m为a1、 a2、 a3 。 a9、a10的最大公因数，那么m的最大值是多少？ 【巩固练习】已知n个自然数的乘积是2007，这n个自然数的和也是2007，n的最大值是多少？ 例10 商店有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，其中一个顾客买走的货物质量是另一
6、个顾客的2倍，那么商店剩下的这箱货物重多少千克？ 【巩固练习】一箱哈密瓜，每个哈密瓜重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后，哈密瓜净重201千克，再拿出几个后，余下的哈密瓜净重183千克，那么每个哈密瓜重（ ）千克。 例11 如果一个数，将它倒排后所得的数仍然是这个数，那么我们就称这个数是“回文数”，又称“对称数”比如：22、565、1991、20702都是回文数。1）1991是回文数；2）它可以分解成一个两位质数回数和一个三位数回文数的乘积。那么在1000-2000之间具有以上两个性质的数还有哪些？【巩固练习】三位数的回文数共有多少个？ 例12 两个自然数的积是5766，这两个数的最大
7、公因数是31，求这两个数。 【巩固练习】两个数的最大公因数是75，最小公倍数是450，这两个数是多少？ 例13 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2012年1月1日显示为20110101，如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD,那么ABCD= 。【巩固练习】用1、2、3、4、5、6每一个数字使用一次组成一个六位数abcdef,使得三位数abc, bcd, cde, def能依次被4，5，3，11整除。求这个六位数。课后作业1、求1600和3000各有多少个因数？2、在865后面补上3个数字，组成一个能被3、4、5整除的六位数，这个六位数最小是多少？ 3、将1、2、3、
8、4、5、6、7、8、9重复写下去组成一个2012位数，那么这个数能否被9整除？如果不能，请说出余数是多少？ 4、 四个连续偶数的乘积是5760，求这四个数各是多少？5、 求2703和1113的最大公因数。 6、某校2012年的学生人数是个完全平方数，2013年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数。该校2013年的学生人数是多少人？7、两个数的最小公倍数是160，它们的最大公因数是8，其中一个数是40，另一个数是多少？ 8、一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100，这两个质数的积是多少？ 9、 有三堆石子，每堆分别有6655，655，65粒.现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次可以从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆取出一些石子放入另一堆中.按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如果能办到，请你设计一种取石子的方案；如不能办到，请说理由。 10、在黑板上写上1、2、3、4、2012.按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止.问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？ - 17 -
