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1、【凤凰教育网初中数学一轮中考复习资料】第39课频率与概率的应用编写：江苏省江阴市要塞中学 夏建平第一部分 讲解部分（一）课标要求1理解事件发生的频率与概率之间的关系，加深学生对概率的理解，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型2能运用列表法计算简单事件发生的概率，能用实验或模拟实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率（二）知识要点1频率是实验的结果，它与实验的方法、过程、次数有密切关系，当实验次数足够多时，我们认为它越接近概率. 概率是事件发生的必然结果，它对一个事件来说是确定值.2概率是表示事件发生的可能性大小的数；通常概率的大小是通过若干次重复实验，用观察到的频率值的方法估计，有些问题的
2、频率值，也可以开动脑筋分析出来.3概率的预测：通常概率可以通过若干次重复实验来进行预测. 但是由于受环境的影响不能做实验时，可选用模拟试验，其方法是：用替代的实物模拟试验；用计算器产生的随机数来模拟试验；不论选择哪种方法，都必须保证试验在相同的条件下进行，否则回影响其结果.4用列表求概率，很多情况下需要排除不需要的结果，而这对很多同学来说恰恰是难点，画树状图就很好地避免了此种情况.5游戏是否公平，主要看双方获胜的概率是否相等，如果相等就公平；如果双方获胜的概率不等，那么通过分值控制，只要“概率分值”的结果相等，那么也是公平的.（三）考点精讲考点一 ：用频率估计概率例1（2011年湖北省十堰市）
3、在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同小明通过多次摸球实验后发现其中投到红色、黑色球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色球的个数很可能是 个【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再乘以总球数求解【解】白色球的个数是：20（15%15%）=2080%=16.【评注】本题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数考点二 ：游戏的公平性问题例2（2011年云南省昭通市）某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学
4、校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自已，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去（1）请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率（2）B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则【分析】（1）利用列表法得出所有可能结果，即可求出A班去参赛的概率；（2）根据（1）中所求数据即可得出A班去的概率，以及B班去的概率，进而修改规则得出
5、答案【解】（1）所有可能的结果如下表：一共16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中和为偶数有6种结果， P（和为偶数）=；即A班去参赛的概率为；（2）由（1）列表的结果可知：A班去的概率为，B班去的概率为，所以游戏不公平，对B班有利游戏规则改为：若和为偶数，则A班得5分；若和为奇数，则B班得3分，则游戏是公平的【评注】本题中涉及的游戏规则是否公平，就是看A、B两班去的概率是否相同.第（2）小题规则修改的方法不惟一，只要使得A、B两班的概率相等即可.考点三 ：模拟实验例3（2009年广东佛山市）在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是”，小明做了下列三个模拟实验来
6、验证：取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值上面的实验中，不科学的有（） A0个 B1个 C2个 D3个【分析】逐个分析每个试验的概率后，与原来的掷硬币的概率比较即可【解】由于一枚质地均匀的硬币，只有正反两面，故正面朝上的概率是；由于把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，标奇数和偶数的转盘各占一半
7、指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为；由于圆锥是均匀的，所以落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀的分布的，与纸板面积成正比，可验证其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值为三个试验均科学，故选A【评注】选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟试验的方法考点四 ：学科内的简单应用例4（2011年安徽省芜湖市）在复习反比例函数一课时，同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致小明认为如果两次分别从16六个整数中任取一个数，第一个数作为点P（m，n）的横坐标，第二个数作为点P（m，n）的纵坐标，则点P（m，n）在反比例函数的图象上的概率一定大于在反比例函数的图象上的概率，而小
8、芳却认为两者的概率相同你赞成谁的观点？（1）试用列表或画树状图的方法列举出所有点P（m，n）的情形；（2）分别求出点P（m，n）在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确【分析】（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验；（2）依据（1）分析求得所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率【解】（1）画树状图得：（2）一共有36种可能的结果，且每种结果的出现可能性相同，其中点（3，4），（4，3），（2，6），（6，2）在反比例函数的图象上，点（2，3），（3，2），（1，6），（6，1）在反比例函
9、数的图象上，点P（m，n）在两个反比例函数的图象上的概率为，小芳的观点正确【评注】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果. 其中列表法适合于两步完成的事件，而画树状图法可以处理需要两步或两步以上完成的事件（四）易错点剖析 易错点1 思考不周致错例1 从一副扑克牌中随机抽出一张牌，问抽到黑桃牌或K的概率是多少？【错解】P（抽到黑桃牌）=，P（抽到K）=，P（抽到黑桃牌或K）=+=.【误区剖析】在概率的计算中，当所有可能出现的结果数出现交叉时，往往会出现重复累计，使所求的概率值增大的错误. 本题错解的原因是：没有注意到在所抽到的黑桃牌中有可能包
10、括黑桃K，故在实际的概率计算中，重复累计了出现黑桃K的情况.【正解】P（抽到黑桃牌）=，P（抽到K但不含黑桃K）=，P（抽到黑桃牌或K）=+=.易错点2 不能正确利用图表求等可能事件的概率例2一张圆桌旁有四个座位A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三个随机坐到其他三个座位上，求A与B不相邻的概率。例2图A圆桌【错解】用树形图列出B，C，D的所有可能如下ABCDCDDCCDDCCDDCA、B、C、DA、B、D、CA、C、B、DA、C、D、BA、D、B、CA、D、C、B所有可能出现的结果共6种，其中（A，C，B，D）、（A，C，D，B）、（A，D，B，C）、（A，D，C，B）中A与B都不与B相邻，
11、所以P（A与B不相邻）为。【误区剖析】本题中A的座位已定，还有三个座位供B、C、D随机选择，所以用树形图法列出座位的所有可能是正确的.再根据所得6种结果找到A与B不相邻的可能情况的思路也是正确的.但本题中A、B、C、D围成一桌，因此与A相邻的不但只是第二个座位，还有第四个座位.也就是说（A、C、D、B）和（A、D、C、B）中A与B也是相邻的.错解中只认为（A、B、C、D）和（A、B、D、C）是相邻是犯了常识性的错误.只看数学符号，不分析本题的具体情境,所以所求概率是错误的.本题也可直接分析出A与B不相邻，即B坐在A的对面的所有可能只有三种情况，即B坐A的对面,C坐A的对面,D坐A的对面。【正解
12、】P（A与B不相邻）=.（五）真题演练1（2011年四川省雅安市）已知一次函数y=kx+b，k从2，3中随机取一个值，b从1，1，2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为 （ ）A、 B、 C、D、2周末，王雪带领小朋友玩摸球游戏：在不透明塑料袋里装有1个白色和2个黄色的乒乓球，摸出两个球都是黄色的获胜小明一次从袋里摸出两个球；小刚左手从袋里摸出一个球，然后右手摸出一个球；小华则先从袋里摸出一个球看一下颜色，又放回袋里，再从袋里摸出一个球这时，小明急了，说：小刚、小华占了便宜，不公平你认为如何（） A、不公平，小刚、小华占便宜了 B、公平 C、不公平，小华吃亏了 D、不公
13、平，小华占便宜了3（2011年江苏省淮安市）有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为 4用计算器进行模拟实验，估计6人中有两人同一个月过生日的概率，在选定随机数范围后，每次实验要产生个随机数5（2011年贵州省贵阳市）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3、4、5、x甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行
14、重复实验实验数据如下表摸球总次数1020306090120180240330450“和为8”出现的频数210132430375882110150“和为8”出现的频率0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近估计出现“和为8”的概率是 （2）如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以取7吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值6（2011年云南省玉溪市）在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字1、2、1、2从袋中任意摸出一小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一个小球（1）请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；（2）若规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程x23x+2=0的根，则小明赢如果摸出的两个小球上的数字都不是方程x23x+2=0的根，则小亮赢你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由第二部分 练习部分1一个口袋里有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有 （ ）A、15 B、30
