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1、精心整理，伯努利方程及其应用伯努利，1738，瑞士。动能与压强势能相互变换。沿流线的伯努利方程将牛顿第二定律应用于控制体内的流体元，沿流线切线方向整理后由于将流体元的加速度变换成欧拉形式的加速度，沿流线的质点导数为则导出此式为一维欧拉方程，使用下述关系将方程沿流线积分。两边乘以ds得：沿流线积分此式为欧拉方程的积分式，适合于可压、无粘不定常运动。对于不能压定常流动，则可简化为此式为伯努利方程，三项分别表示单位质量流体拥有的动能、位置势能和压强势能。即总机械能守恒。应用伯努利方程常常采用沿流线上任两点的总机械能值相等的形式。伯努利方程使用的限制条件（1）无粘性流体，（2）不能压流体（3）定常流（
2、4）沿流线。加入能量损失即可适应粘性流体。皮托（pitot）测速管：总压强与动压强皮托测速管又称为皮托-静压管，简称皮托管，为纪念法国人皮托命名。皮托测速管由粗细两根同轴的圆管组成，细管（直径约为1.5mm）前端开孔（O点），粗管（直径约为mm）在距前端适合长距离处的侧壁上开数个小孔（B点），在孔后足够长距离处两管弯900成柄状测速时管轴线沿来流方向放置设正前面的流速保持为v，静压强为p，流体密度为。粗细两管中的压强被引入形测压计中，形管中液体密度m。试求用形管液位差h表示流速v的关系式。精心整理解：设流动吻合不能压缩无粘性流体定常流动条件。从皮托管正前面点到端点再到侧壁孔点的线是一条流线，点
3、的速度和压强分别为v和p，沿流线段按（）式列伯努利方程22vgzA+pv0gz0p022在皮托管端点，流体速度降至零v00，称为驻点，p0称为驻点压强，形管右支管测到的即是驻点压强由于zAz0，由（a）式可得上式中1 v2称为动压强，为流体质点的动能全部转变成压强势能时2应拥有的压强（b）式表示驻点压强为静压强和动压强之和，故p0称为总压强由（b）式动压强可表为由于皮托管较细，流线上的两点的地址差可忽略，伯努利方程为因vBv，由上式pBp，即形管左支经过皮托管侧壁小孔测到的是当地静压强在形管内列压强关系式可得由于实质流体拥有粘性及皮托管加工误差等原因，流体动压强转变成形管内液位差读数存在误差，
4、需乘上一个修正系数k,由（c）,（d）式可得k称为皮托管系数，可经过用标准皮托管作标定测量后确定由（e）式可得小孔出流：托里拆利公式及缩颈效应从一个大容器侧壁下部距离液面为h处开一个小孔，设液面水位不变，求出流速度和出流流量。解：=22gtan2h23522 h55h20852gtanh2152沿流线法向方向的速度压强关系式由牛顿第二定律：得gAncospA(pp)AAAnv2考虑到几何nR关系，有整理，得忽略重力，得若密度为常数，则有精心整理此式为沿流线法向方向的伯努利方程，应用条件为（1）无粘性流体，（2）不能压流体（3）定常流（4）沿流线法向。若是流线位直线时，曲率半径为无量大，则此式与
5、静压力公式相同。沿总流的伯努利方程将伯努利方程三项机械能在有效截面A上按质量流量积分，总机械能沿流束仍保持守恒，即以截面平均流速V代替不平均的速度分布，引入动能修正因子。有考虑到质量守恒，得对于一个缓变流的两个截面，有例题：Venturi管：沿总流的伯努利方程V2V2p21(gz13gz1gz3)2(gzp5mhgzgz)224mghg(z4z3)应用连续(m1)gh性方程精心整理伯努利方程的意义不能压缩粘性流体内流管道入口流动表示图，设管直径为d,管口外均流速度为U。从开始，流体在壁面上被滞止，形成界线层。界线层外仍保持为均流，称为核心流。由壁面不滑移条件引起壁面周边的流速降低，为满足质量守
6、恒定律，核心流流速增大，速度廓线由平坦逐渐变成凸出。随着界线层厚度不断增加，核心流不断加速，直至处四周的界线层相遇，核心流消失，整个管腔被界线层流动充满，此后速度廓线不再变化。称为入口段流动或发展中流动的速度廓线，均可经过求解N-S方程获得。入口段的压强损失，可利用动量方程求解。由例B4.4.1D推导得管道入口段压强损失系数为式中p0,pL分别为x=0和x=L处的压强。称为达西摩擦因子，它是管道形状，雷诺数和管壁粗糙度的函数，在充发散展定常流动中为常数（将在C3.6中详细谈论）。（）式中的项为入口段中相应于充发散展段中的压强损失。K为入口段中特有的附加压强损失，它由两部分组成：将均流加速成充发
7、散展流动所需要的压强系数；入口段附加压强损失K是入口段长度L，雷诺数Red及管道形状因子的函数，可运用有限差分法求解N-S方程获得。依照计算的K值可估计入口段的长度L。圆管入口段长度与直径的比值的典型公式为L0.06Red层流,L4.4(Red)1/6湍流dd对层流，最大的入口段长度为LMax=0.062300d=138d,(Re=2300)对湍流，由于界线层厚度增加较快，入口段长度比层流短的多Lt=(2040)d,(Re=104106)在实质的工程长管线中，如口段长度所占的比率常常是不足挂齿的，因此除特别要求为其平时不予考虑，全长均按充发散展流动办理，但对一些较短的管道，则应该考虑入口段影响
8、。平行平板间的层流流动是N-S方程拥有解析解的典型例子之一，包括固定平板间的压差流，平板间作相对平移运动的剪切流及两种流动同时存在的一般库埃特流。解析库埃特流不但有理论意义而且有工程背景，如气体或液体在活塞表面与缸壁间的缝隙中的泄漏流动，机床中滑块与导轨面的缝隙中的润滑油流动，及滑动轴承的轴颈和轴承的缝隙中润滑油流动等等。由于缝隙（b）很小，流动雷诺数不大，属于层流流态，均可用简化的无量大平行平面间的粘性流体定常层流模型来解析。圆管湍流流动湍流还没有确实和全面的定义。湍流运动是有各种大小和不相同涡量的涡旋叠加而形成的流动，在湍流中随机运动和拟序运动并存。圆管流动沿程水头形式的伯努利方程式实行形
9、式为上式中称为水头损失，量纲是L。圆管流动中水头损失由两部分组成：（ 1）沿程损失（hf）是沿等截面管流动时管壁粘性切应力引起的摩擦损失；精心整理（2）局部损失(hm),是由截面积变化，流动分别和二次流等局部因素引起的损失。达西公式在水平直圆管定常流动中只有沿程损失，因V1V2,z1z2p1p2p，由（Bb）式中可得hfgg用量纲解析法求得实验表示P与l/d成正比关系，习惯上用Re,/d代替fRe,/d。称为圆管沿程阻力因子或无量纲摩擦因子，因此上式可表为将上式代入（）式可得上式中l/d称为几何因子，V为管内平均速度，V2/2g为速度水头。局部损失管入出口、管截面变化部位，弯头和三通、各种阀门
10、等。原因：（1）截面变化引起速度重新分布；（2）流体元相互碰撞和增加摩擦；（3）二次流；（4）流动分别成涡。hKV2m2g计算式：K为局部损失因子，V为拟定部位的平均速度。入口K=0.5，出口K=1管截面突然扩大：局部损失，以下列图，平均速度分别是V1和V2，求局部损失因子。解：取图示虚线所示控制体CV，由连续性方程实考据明在死水区（拐角分别区）的压强PP1。忽略侧壁上的切应力作用，由动量方程由伯努力方程由(a)(b)(c)式（d）式中V1为小管中的速度。含局部损失的管道损失当管道流动中局部损失在总损失中所占比重不能够忽略时，管道计算中应将沿程损失和局部损失均考虑在内，全部损失为全部沿程损失和
11、局部损失之和精心整理在可压缩流体流动中要考虑的流动参数除速度和压强外还要加上密度和温度。连续性方程不再独立，必定与能量方程和状态方程联合求解，求解的结果显然与不能压缩流体的流动规律不相同。比方在必然条件下，可压缩气体在截面积逐渐减小的缩短管道内作减速流动，而在截面积逐渐增大的扩大管道内可作加速流动，均不违犯质量守恒定律。平时用压强p、密度和温度T三个物理量表示气体的状态，称为基本状态参数。完好气体的基本状态参数满足以下方程式中R称为气体常数，由下式决定Rm称为通用气体常数，数值是8314.3J/kg?mol?K,m为气体平均分子量。气体的内能平时指分子热运动所拥有的动能。完好气体的内能是温度的
12、单值函数其微分式可表示为cV称为气体的比定容热容，它也仅是温度的函数cV(T)单位质量气体的焓称为比焓，记为h(J/kg)，定义为h=e+pp 在热力学中称为流动功，在流体力学中称为压能。焓是内能和压能之和。完好气体的焓的微分式可表示为cp称为气体的比定压热容，它仅是温度的函数cp(T)引入比热比与cp,cV的关系为如空气热力学第必然律表述为：对气体所加的热能等于气体内能的增加平和体对外所做功之和。表达式为对完好气体，可分别表示为单位质量气体的熵称为比熵定义为微分式为热力学第二定律表述为：气体在绝热的可逆过程中熵值保持不变；在不能逆过程中熵值必然增加。对完好气体，绝热而又可逆的过程称为等熵过程
13、，ds=0,气体作无摩擦绝热流动时为等熵流动。对完好气体等熵流动可得完好气体作等熵流动时的状态参数关系式，常用表达式为p常数声速来表示流体的可压缩性。声速是弹性介质中稍微扰动流传速度的总称。在图C5.2.2a中有一竖向的稍微压强扰动波在精致的流体介质（V=0）中以声速c向左运动。设某刹时波前的流体压强和密度分别为p,。波后的流体速度变成dV压强为p+dp,密度为精心整理d。对地面上的观察者而言，这是一个非定常流动。为了便于观察波前波后流体状态参数的变化关系，在扰动层上取一薄层控制体CV，两边的面积均为A，并将坐标系固定在控制体上与波一起前进，对站在坐标系上的观察者而言，流动是定常的。左边的流体压强为p,密度为，以速度c流入控制体；尔后以压强p+dp,密度d，及速度为c-dV流出控制体。由
