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1、 2015年全国高中数学联赛模拟试卷（7） 姓名_1.设正三角形的边长为1，则的最小值为_.2.设的图象关于直线对称，则_.3.设是上的递增函数，对有.则_.4.设正四面体的棱长为，为的中点，则异面直线间的距离为_.5.若在区间上的值域为，则_.6. 在中，分别为角的对边，若，且，则_.7.两人进行乒乓球赛，规定先净胜3局者获胜.已知经过13局比赛后，才获胜，则这13局的胜负结果有_种不同的情况.8. 已知，.则_.9.设是直线与椭圆的两个交点，为坐标原点.若是锐角三角形，求的取值范围.10.设实数满足. 求证：.11.试求所有的正整数，使得存在个整数满足且.2015年全国高中数学联赛模拟试卷
2、（7）参考答案1.设正三角形的边长为1，则的最小值为_.【答案】.2.设的图象关于直线对称，则_.【答案】.3.设是上的递增函数，对有.则_.【答案】.4.设正四面体的棱长为，为的中点，则异面直线间的距离为_.【答案】.5.若在区间上的值域为，则_.【答案】.【解析】为奇函数，故的图象关于中心对称.6. 在中，分别为角的对边，若，且，则_.【答案】.【解析】由解得，由，故，故.7.两人进行乒乓球赛，规定先净胜3局者获胜.已知经过13局比赛后，才获胜，则这13局的胜负结果有_种不同的情况.【答案】.【解析】设进行完（）局比赛后获胜的局数分别为，由题意，且当时，设，当从0增长到13，点从沿图中的实
3、线段移动到（运动方向只能向右或向上），其间不同的线路对应了不同的胜负结果.从到的方法有1种，从到的方法有1种，由分类计数原理，从点到的方法有种，依次类推，到达图中每一个点的方法数均为到达该点左侧和下方的两个点的方法数之和，将这些数字标在图中各点上，得到右图.8. 已知，.则_.【答案】.【解析】，故，.【解析2】以退为进，将题中2013依次退化为1,2,3，计算问题的结果，可发现规律.9.设是直线与椭圆的两个交点，为坐标原点.若是锐角三角形，求的取值范围.解：将代入，化简得，由得.设，则.显然，先考虑的情形：中，因为，故为锐角；若，则，即，即，解得；若，由，故，又易知，解得.设增大到时，点分别
4、变为，如图，在的内部，故随增大而减小；另一方面，设交于点，则是的一个外角，故，即随增大而增大.当时，是锐角三角形，当且仅当，最后，由椭圆的对称性可知，的取值范围为.10.设实数满足. 求证：.【分析】由前两个等式联想韦达定理，将和分别看作两个一元三次方程的根.解：不妨设，则，设，故为常数，令，则，即，当时，故，即在上无零点，而是的一个零点，故，即.【推广】已知，实数满足，其中，（共项），（共项），.求证：当为奇数时，；当为偶数时，.11.试求所有的正整数，使得存在个整数满足且.解：先证明.若为奇数，由知都是奇数，则为奇数个奇数之和，不可能为，故为偶数.由知，中奇数的个数为偶数，从而偶数的个数也为偶数，又易知中至少有一个偶数（否则为奇数），故中至少有两个偶数，由知.下面证明当时均满足题意： 若，由及，满足； 若，由及，满足.综上，所有满足条件的解为.注：尽量利用，结合待定系数法，可构造出适合条件的.中等数学2009.08 P37；6、8： 中等数学2009.10.P3910：中等数学2009.10.P17
