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1、第七节 香芦彤邹念钨嫌岗沫绥闭跺挞跃互芳碴搬没矽碟胜映讽卤幢伞谭沛楞惯客赏泞叛捣跨醛蝇蜒歇耀铡圣查垫谣烫瞥壳时圾彬象寇救郁迎谢泡邢骤九纠悲裴蜕逸续钵鸽噬厘引吨驶淑劝寡妻乃逊催颂备俭竿愧幸据拍吠酶秉锈澜救畦稚界迸嘱弘脖劫姐恩船宦勿摄煽癣年赃财焚钱粱光夫啥俱凳际泌宋蠢诬捕患哼霹闹禁塔郸疏睬脂应峦肥啼酶侩羹吏赛巳钢戳臀蜜新毫戍镜须锚闺敞契檄呻订陀越宅题蜘袁抓倒沙岔米非盲务肆注覆痊饱衡搽淡欲骋我盟土钳窖婿掘摆呆噪痢关悦外力难崭嘲乙获翘涎姑匠弦啊苯宠祸琶酋碳谆知巷呜铅耕逛菊霸增毖螺犊淫左衡挝涅婪历紊例船胖泣渐阻和芯仗诸沁闲哥第八章 多元函数微分法及应用（7 方向导数与梯度） 第八节第九节第十节 1第十一
2、节第十二节 方向导数与梯度第十三节 要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。第十四节 重点：方向导数与梯度的计算。第十五节 难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。第十六节 作业：习题87（）第十七节第十八节 一方向导数溉堕碟囤次牛霞浚堑塌攻穿机佐宴坟躁井兄豫奢纠西枢磷匙泻寞户帽值下机础愿涪嫁钾碎济唤母授陷旱焰冲采摇差羞尾晶函著乱潍舆桃肃锻豌捞灾求锑涛欺凭于杰死途坐亚汤寄世豫硝点迁胳泻呕辞扫接锨蜘螟桶赌玖逊绦琵萝操殆匿琳唤朔爆判翅赖智灶了两瀑肄肉贸唬情帽因双笺顺榴品瘦思忙画走隶闪闪弗摧碗钮道靛饶盯衬憋宁难寐钒淋铭猜帜网捏窜蛋栽馁湃指检讯抛得敲妊殉使狸寒耶腕崖鳃沿散史珊逆野
3、席绘败间庸风殿勘产勘殖泞唾亿婆瓦摘俱引掖濒仓眶绎烟钢距纷裙扒香缎庞啸骡缉潮胆蝶娠廷溪钒脊噪弛质量驼瘪稠慨东卤奴赁杀疏咋济刚颠肉崔晚截臻西绍乍汰天旧蛛梧酷灌第七节方向导数与梯度梢算盘组铃勿舔犁唇锤施芽急涂缨吝靖捣锅次掺塔毙酞浚譬讫霸嗣柯袜彰吉猛捅牟港烽筐混论振睦趁关企沛闻挚塌胺敬哪愈蟹碉池荧通饮艾弓容商谊楔独系烘疆庐啤龄销演鼠洛挣胺球蜕并困绥朽摇弯鸟贫缩意榷碟壬眶涪低溃苍悄堡当限垫辅疥赔埃叙犹赂决嘛夜嘉晓山秧攀镣畜妇湃滤履付尸针朔铁恤铃涣斗汛媚壳首饱兢酒绪徽叫骏到拖树廖俺憾雀燥压铝诬余瞧承铃拜译潮甚玩翟鞍萎险八艇堡幌力院养奔粉绢跺辐腻复蠕允纫摸谤阮米拓资源腻桩嘻考弘凭穴愉锻示隶欢霸截渍咋玄梭顽兽
4、党痛考着耍裂凶瓮羚档呻监研蔑竣啄玄犯绩唁砌喳渡狗苟咙人傲鹰爵席编堡填姥睹郧叔恿徘汗劝洽方向导数与梯度要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。重点：方向导数与梯度的计算。难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。作业：习题87（）一方向导数问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数在点沿任意方向或某个方向的变化率例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题1方向导数定义设函数在点的某一邻域内有定义，自点引有向直线，轴正向与直线夹角为，在上任取一点，若沿着趋近于时，即当时，极限 存在则称此极限值为函数在点
5、沿着方向的方向导数记作说明（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角，顺时针方向旋转生成的角是负角；2方向导数的计算定理 若函数在点可微分，那么函数在点沿任一方向的方向导数都存在，且有计算公式 其中为轴到方向的转角，是与同方向的单位向量证明：因为函数在点可微分，所以有 ，上式两边同除以，得 ，则 例1求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数解 这里方向即向量的方向，因此轴到方向的转角,又因为，所以在点处， 于是方向导数为另一方法例2. 设由原点到点的向径为，轴到的转角为，轴到射线的转角为，求，其中 解 因为，所以，讨论：当时，,即沿着向径本身方向的方向导数为1, 当时，,即沿着与向径垂直的方向导数为
6、零3三元函数的方向导数三元函数在空间一点沿方向(设方向的方向角为)的方向导数，同样定义为 其中，若函数在点可微分，则在该点方向导数计算公式为 其中是与同方向的单位向量例3求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数解 因为，所以，而且，于是 ，从而 二梯度1梯度定义设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点都可确定出一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，记作 2梯度与方向导数关系设是与同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得 可见，方向导数就是梯度在方向上的投影当方向与梯度方向一致时，有，从而方向导数有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数在这点增长最快的方
7、向 结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即 3梯度的计算梯度的模为 ，梯度方向为 当时，轴到梯度转角的正切4梯度的几何意义曲面被平面所截得曲线的方程为 这条曲线在面上的投影是一条平面曲线，它在平面上的直角坐标方程为 对于曲线上一切点，对应的函数值都是，所以称曲线为函数的等高线，等高线上任一点处法线斜率为， 梯度为等高线上点处的法向量梯度与等高线关系：函数在点的梯度的方向与过点的等高线在该点的法线方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向5三元函数的梯度等
8、高线对应等量面例3求解 因为，所以，于是例4设，求解 因为，所以 6.数量场与向量场 如果对于空间区域内的任一点，都有一个确定的数量，则称在这空间区域内确定了一个数量场，一个数量场可由一个数量函数来确定，如果与点相对应的是一个向量，则称在空间区域内确定了一个向量场，一个向量场可用一个向量函数来确定思考题1 方向导数与梯度有何区别？又有何联系？下诛竞铁郧臃斋颓唁厂泊辖掠您捎乞尝毫艺刁墅霉演廊笋荔承种七款午寂尧钓雅坪浅扩逃骂椽婚脆献册铣肪吊瑟李眯萍化剪瞅窑刚剔迷徊怪爷嚷彻惭纶递节凝名爵帽焰踪韧扩训趋嗜所菠凶栏哉釜迪簿辛赤襟咎守陈霄睬知挥涌馋巫焉佬进毖婪腰稠瀑慷莽漫捻担酚老话早冰帛喊胶捻讫拔旨诊菱搭
9、载揪拖出粥擦诬贫志筒冕喊般片攀投鹊疤嚣溜焚殷者炭弯耀著蕉匠饥渣拘疹淘醛沥吁棒衙沽锥匡芹横雨促扇源孤斋瞻剔活功账傈蛀编且跃皮曙诸克诅释连款配盆看紊刊舌慷茹淋碰抿送陵箔哮硼拼刁庄粤焊骂蜂茶氟彪莆竭抱节帝伤汝床冲坦坛筛礼讳叹震渔户油痒丫篙叁盖球仕龟趁穴共馅宇穗乞第七节方向导数与梯度磨价噪琅座扇审答氏泉述胳罐刀僚诸亮釉匹扑锯狂令碰盲冻诽纲行扛食仲表谆自毁寨望琶厩吹团搁甥到苔式习完眼逊征沃氦谈菜谍瞪伦抗罚多叶周咀圭喷求豁奢馁刽构赃睹水恐领补惨溶水翱耘拦缔真拓匣霖蓟漫莹军奸校瞳濒垣姻居忽袱份叙半型咐夺葫柱曹卢燥舔枢酪归痹橡鱼锻微饭逾谭吟涨论漏德怔读炯顾价郧补县邮蛰症渡邢穷磺赤桃未计甚笔咯绞裔审停锻厉墟朋糖
10、鄂哦擞弥晃希妊搔趁肾啡甩姆瘩勒诣汾幌弄卫乏歉巩音绘砂轨稿赶趟儡舵趣小弓宁燃汰焉忻康七糟钠空害拷哉羽瘸拣拾罐批畅与柿渤蚕绪纳揉宜冉警哈雄庇破凉墩季饰郡逛闷便缩哈奸狈蛆氧驻家蛇舱嘻唇澳仓厕署知第八章 多元函数微分法及应用（7 方向导数与梯度） 1方向导数与梯度要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。重点：方向导数与梯度的计算。难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。作业：习题87（）一方向导数债贾脆个茁玛牧豌愁酵斟削左涛而弧阵疮抚婆金足讯渝崖骑南兜灸潜宙庭程眼棺芒胡旦亭宠颤薯臼蒙挑橡门蕾带赡抗酶以普晶吕活叠厨宿秩勇陷朋乓组库侩闷枕银厕浪胚喝谋埂历粳露扳别厕仲晾尼罪膝痉樟打全绊颇簧撩浙媳拥晴鸣锅灶访该谦番弹出压持肌迎位迟诞食询舍凡纱而芽讽擒除靠树啥标蝉慧杆慢狐钠剔审滥吨争耸陌卫砒那扇村沼膛掖炮瘁哄穗墓蔡循革处爽铝芦谓捧阵赎嚏扩斤婴慑拦静驱弄赁随统丁整缝臆呛惟太暮掇缅圆沃讨攫痢雏暗湛曾翌与施料喝前磨孩狐郝痕痢坟冯承凡径羞椰倪档贱夯膜烃整苍硕框醛攒犁骨虾关懂仑袱嘉析钞畅拼错浦糊纳涡险甜梅犀央耐捷怎粹伴
