《2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷）（解析版）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷）（解析版）.doc（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共21题，满分150分。考试用时120分钟。参考公式：主体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设i为虚数单位，则复数=A B C D2设集合U=1,2,3,4,5,6， M=1,2,4 则AU B1,3,5 C3,5,6 D2,4,63若向量=（2,3），=（4,7），则=A（-2,-4） B(2,4) C(6,10) D(-6,-10)4下列函数
2、中，在区间（0，+）上为增函数的是A B Cy= D 5已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为A12 B11 C3 D6某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A12 B.45 C.57 D.817从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是A. B. C. D. 8.对任意两个非零的平面向量和，定义若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=A B.1 C. D. 二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9-13题）9.不等式的解集为_。10. 的展开式中的系数为_。（用数字作答）11.已知递增的等差数列满足，则 _
3、。12.曲线在点（1，3）处的切线方程为 。13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为 。（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为_。15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足ABC=30，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为（1）求的值；（2）设，求的值。17
4、. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：（1）求图中的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。18.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点 E在线段PC上，PC平面BDE。（1） 证明：BD平面PAC；（2） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值。19. （本小题满分14分）设数列的前n项和为Sn，满足且成等差数列。（1） 求a1的值；（2） 求数列的通项公式；（3） 证明：对一切正整数n，
5、有20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由。21.（本小题满分14分）设a1，集合，（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数在D内的极值点。2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）答案一 、选择题：题号答案DCAABCDC二、填空题：9. 10. 2011. 2n-112.
6、 y=2x+113. 814. （,）15. 三、解答题：16.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为（1）求的值；（2）设，求的值。解析：（）最小正周期为，；（），即，得，又，得；同理，所以.17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：（1）求图中的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。解析：（）由，得x=0.018；（）成绩在区间的学生有人，成绩在区间90,100的学生有人，成绩不低于80分的学生共12人，.18.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱
7、锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点 E在线段PC上，PC平面BDE。（3） 证明：BD平面PAC；（4） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值。解析：（）PA平面ABCD，PABD，PC平面BDE，PBD，BD平面P；（）设，连OE，PC平面BDE，PBE，PE，所以BE是二面角B-PC-A的平面角；由（）知BD，又四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD是菱形，ABD2， ，点到的距离为，点到的距离为，二面角B-PC-A的正切.19. （本小题满分14分）设数列的前n项和为Sn，满足且成等差数列。（4） 求a1的值；（5） 求数列的通项公式；（6） 证明
8、：对一切正整数n，有解析：（），当时，即，由成等差数列，得，解得；（）由，得，设，则，得，又，综上知.(3) 下面用数学归纳法证明：，即要证.当n=2时，54，不等式成立；假设当n=k时，则，即假设当n=k+时，不等式成立；由可知，恒成立，即；，当时，当n=时, ，综上所述：对一切正整数n，有20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应
9、的OAB的面积；若不存在，请说明理由。解析：（）由题意可设，则，设(x,y)是椭圆C1上任意一点，则，又，即，或，解得k=1，椭圆C的方程为.（）设，OAB，仅当时，最大OAB最大，此时点到l的距离为，即，得，由点M(m,n)在椭圆C上，得，所以存在点M的坐标为，使OAB的面积最大，为.21.（本小题满分14分）设a1，集合，（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数在D内的极值点。解析：（）设，其对称轴为，判别式，当时，B=R，；当时，的两根为，当即a0时，；当即时，；当即时，；综上所述：当时， ；当时，当时，.（）或，若，则且，函数在D内无极值点。当时，且，在D内有极大值点，无极小值点。当时，且，由的图象知：在D内有极大值点，极小值点。
