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1、平面汇交力系合成 -课程设计 永泰城乡建设职业中专 朱鉴教学内容：平面汇交力系的合成教学目标：学生了解平面汇交力系合成的方法 学生能够运用所学的力系合成的方法对具体问题进行合成 学生对力学有浓厚的兴趣，为以后的课程学习奠定基础教学重点：解析法在平面力系中的应用教学难点：平面力系的合成定理的掌握教学课时：2教学过程： 平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。下面分别介绍。一、几何法首先回顾用几何
2、法合成两个汇交力。如图21a，设在物体上作用有汇交于点的两个力F1和F2，根据力的平行四边形法则，可知合力R的大小和方向是以两力F1和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力R的作用点就是这两个力的汇交点。也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图21b所示。图21对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的合成。设作用于物体上点的力F1、F2、F3、F4组成平面汇交力系，现求其合力，如图22a所示。应用力的三角形法则，首先将F1与F2合成得R1，然后把R1与F3合成得R2，最后将R2与F4合成得R，力R就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力，图22b所
3、示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为 R=F1F2F3F4 （21）实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和R2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图22c所示。然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如图22d所示。把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点。这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。从图22e还可以看出，改变各分力矢
4、相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不会影响合成的最后结果。图22将这一作法推广到由n个力组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。矢量关系式为： R=F1F2F3Fn=Fi （21b）或简写为：R=F （矢量和） （21c）若力系中各力的作用线位于同一条直线上，在这种特殊情况下，力多边形变成一条直线，合力为： R=F （代数和） （22）需要指出的是，利用几何法对力系进行合成，对于平面汇交力系，并不要求力系中各分力的作用点位于同一点，因为根据力的可传性原理，只要它
5、们的作用线汇交于同一点即可。另外，几何法只适用于平面汇交力系，而对于空间汇交力系来说，由于作图不方便，用几何法求解是不适宜的。对于由多个力组成的平面汇交力系，用几何法进行简化的优点是直观、方便、快捷，画出力多边形后，按与画分力同样的比例，用尺子和量角器即可量得合力的大小和方向。但是，这种方法要求这图精确、准确，否则误差会较大。二、解析法求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影为基础建立方程的。1、力在平面直角坐标轴上的投影设力F用矢量表示如图23所示。取直角坐标系oxy，使力F在oxy平面内。过力矢的两端点A和B分别向x、y轴作垂线，得垂足a、b及a/、b/
6、，带有正负号的线段ab与a/b/分别称为力F在x、y轴上的投影，记作Fx、Fy。并规定：当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向一致时，力的投影取正值；反之，当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向相反时，力的投影取负值。力的投影的值与力的大小及方向有关，设力F与x轴的夹角为，则从图23可知 （23）一般情况下，若已知力F与x和y轴所夹的锐角分别为、，则该力在x、y轴上的投影分别为 （24）即：力在坐标轴上的投影，等于力的大小与力和该轴所夹锐角余弦的乘积。当力与轴垂直时，投影为零；而力与轴平行时，投影大小的绝对值等于该力的大小。图23 图24反过来，若已知力F在坐标轴上的投影F
7、x、Fy，亦可求出该力的大小和方向角： （25）式中为力F与x轴所夹的锐角，其所在的象限由Fx、Fy的正负号来确定。在图23中，若将力沿x、y轴进行分解，可得分力Fx和Fy。应当注意，力的投影和分力是两个不同的概念：力的投影是标量，它只有大小和正负；而力的分力是矢量，有大小和方向。它们与原力的关系各自遵循自己的规则。在直角坐标系中，分力的大小和投影的绝对值是相同的。同时，力的矢量也可以转化为力的标量进行计算，即 F=Fx+Fy= （26）式中i、j分别为沿直角坐标轴x、y轴正向的单位矢量。力在平面直角坐标轴上的投影计算，在力学计算中应用非常普遍，必须熟练掌握。例21 如图24所示，已知，各力的
8、方向如图，试分别求各力在x轴和y轴上的投影。解：根据公式（23）或（24），列表计算如下力力在x轴上的投影（）力在y轴上的投影（）F1F2F3F42、合力投影定理为了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标轴上投影的关系。图25如图25所示，设有一平面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的点，如图25所示。从任一点A作力多边形ABCD，如图25b所示。则矢量就表示该力系的合力R的大小和方向。取任一轴x如图示，把各力都投影在x轴上，并且令FX1、FX2、FX3和Rx分别表示各分力F1、F2、F3和合力R在x轴上的投影，由图25b可见 Fx1=ab，Fx2=bc，Rx=ad而
9、ad=ab+bc-cd因此可得Rx=Fx1+Fx2+Fx3这一关系可推广到任意个汇交力的情形，即Rx=Fx1+Fx2+Fxn=Fx （26） 由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。3、用解析法求平面汇交力系的合力当平面汇交力系为已知时，如图26所示，我们可选直角坐标系，先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的投影Rx、Ry，从图26中的几何关系，可见合力R的大小 和方向由下式确定： （27）式中：为合力R与x轴所夹的锐角，R在哪个象限由Fx和Fy的正负号来确定，具体详见图27所示。合力的作用线通过力系的汇交
10、点。图26 图27 下面举例说明如何求平面汇交力系的合力：例22 如同28所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知三力均通过圆心。试求此力系合力的大小和方向。解：运用两种方法求解合力。（1）几何法取比例尺为：1cm代表10kN，画力多边形如图28b所示，其中ab=。从起点a向终点d作矢量，即得合力R。由图上量得，ad=4.4cm，根据比例尺可得，R=44kN；合力R与水平线之间的夹角用量角器量得=。图28（2）解析法取如图28所示的直角坐标系，则合力的投影分别为：则合力R的大小为： 合力R的方向为： 由于0，0，故在第一象限，而合力R的作用线通过汇交力系的汇交点。例23 如图29所示，一平面
11、汇交力系作用于点。已知 各力方向如图。若此力系的合力R与F2沿同一直线，求F3与合力R的大小。解：用两种方法（1）几何法取比例尺如图所示。取任一点a开始作力多边形，由b点作得折线abc，再从折线上的c点和a点分别作F3和R的平行线，它们相交于一点d。多边形abcd即为力多边形。根据比例尺量得R=573N，F3=141N，合力R的作用线通过汇交点。图29（2）解析法取如图29所示的坐标系。由题可知R沿x轴正向，则：又因为： 则得： 即 得 又由 得 即 】教学小结：1、掌握共点力系合成与平衡的几何法与解析法2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴 上的投影。正确理解合力投影定理3、熟练运用平衡方程求解共点力系的平衡问题作业：2-1、4、5教学反思：学生对力学普通比较头疼，因学生没有很好的数学功底，再接下来的课程，多培养学生的自信心。
