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1、（人教版）精品数学教学资料数学必修5(人教A版)一、等差数列1定义：an1and(nN*)或anan1d(nN*，n2)2通项公式：ana1(n1)d(nN*)3如果数列an的通项公式是 anAnB(A、B是与n无关的常数)，那么数列an一定是等差数列4等差数列前n项和公式：Sn，Snna1d.5如果数列an的通项公式是 SnAn2Bn(A、B是与n无关的常数)，那么数列an一定是等差数列6.a、b、c成等差数列anb为a、c 的等差中项2bac.7在等差数列an中，anam(nm)d(nN*)8在等差数列an中，由mnpqamanapaq，若mn2paman2ap.9.在等差数列an中，Sk
2、，S2kSk，S3kS2k构成等差数列2(S2kSk )Sk( S3kS2k)10已知an 、bn为等差数列，则anc，can，anbn，ankbn(其中c为常数，kN*)仍是等差数列11已知an 为等差数列，若k1，k2，k3，kn为等差数列，则ak1，ak2，ak3，akn仍是等差数列12.若三个数成等差数列，则设这三个数为ad，a，ad，可简化计算13证明等差数列的两种方法(1)定义：an1and(nN*)(2)等差中项2anan1an1(nN*，n2)二、等比数列1定义：q(nN*)或q(nN*，n2)2通项公式：ana1qn1(nN*)3等比数列前n项和：Sn(q1)；Snna1(q
3、1)4a，b，c成等比数列b为a、c 的等比中项b2ac.5在等比数列an中，anamqnm(nN*)6在等比数列an中，由mnpqamanapaq，若mn2pamana.7.在等比数列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k 构成等比数列( S2kSk)2Sk(S3k S2k)(Sk0)8已知an 、bn为等比数列，则can，anbn，(其中c为不为0的常数，kN*)仍是等比数列9已知an 为等比数列，若k1，k2，k3，kn为等差数列，则ak1，ak2，ak3，akn仍是等比数列10若三个数成等比数列，则设这三个数为，a，aq，可简化计算11证明等比数列的两种方法 (1)定义：q或q(nN*
4、，n2) (2)等比中项：aan1an1(nN*，n2)三、通项公式的求法数列的通项公式是数列的重要内容之一，它把数列各项的性质集于一身常用的求通项的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n项和作差法、辅助数列法累加法：数列的基本形式为an1anf(n)(nN*)的解析式，而f(1)f(2)f(n)的和可求出累乘法：数列的基本形式为f(n)(nN*)的解析关系，而f(1)f(2)f(n)的积可求出前n项和作差法：利用an，能合则合待定系数法：数列有形如an1kanb(k1)的关系，可用待定系数法求得(ant)为等比数列，再求得an.四、特殊数列的前n项和利用等差、等比数列求和公式是最基本最重
5、要的方法数列的求和除记住一些公式外，还应注重对通项公式的分析与整理，根据其特征求和，常用的方法技巧有分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但如果将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，那么就可以分别求和，再将其合并即可倒序相加法：这是在推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个a1an.错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差和等比数列裂项相消法：这是分解与组合思想在
6、数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的题型1求数列的通项公式(一)观察法就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式数列1，3，5，7，的通项公式为()Aan(2n1)Ban(2n1)Can(2n1)Dan解析：11，33，55，an(2n1).答案：B(二)公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它已知数列an为无穷数列，若an1an12an(n2且nN*
7、)，且a24，a68，求通项an.解析：an1an12an，an1，an，an1成等差数列又n2且nN*，数列an为等差数列，设首项为a1，公差为d.由可得通项an3(n1)1n2.(三)利用an与Sn的关系前n项和关系式有两种形式：一种是Sn与n的关系式，记为Snf(n)，它可由公式an直接求出通项an，但要注意n1与n2两种情况能否统一；另一种是Sn与an的关系式，记为f(an，Sn)0，求它的通项公式an.已知数列an的前n项和为Sn，且an5Sn3，求数列an的通项公式解析：当n1时，a15a13，a1，当n2时，an5Sn3，an15Sn13，anan15(SnSn1)即anan15
8、an，an是首项a1，公比q的等比数列ana1qn1(nN*)(四)累加法、累乘法有些数列，虽然不是等差数列或等比数列，但是它的后项与前项的差或商具有一定的规律性，这时，可考虑利用累加或累乘法，结合等差、等比数列的知识解决已知a11，求an.解析：当n2时，ana11.而a11也适合上式故an的通项公式ann(n1)(五)构造法有些数列直观上不符合以上各种形式，这时，可对其结构进行适当变形，以利于使用以上各类方法设数列an是首项为1的正项数列，且an1anan1an0(nN*)，求an的通项解析：an1anan1an0.1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列，故n，an.(六)形如：已知a1
9、，an1panq(p、q为常数)形式均可用构造等比数列法，即an1xp(anx)，anx为等比数列，或an2an1p(an1an)，an1an为等比数列若数列an满足a11，an1an1，求an.分析：根据递推公式求出前几项，再观察规律，猜想通项公式，有时比较困难可变换递推公式，利用构造等差或等比数列的技巧，从而求通项公式解析：解法一：an1an1，an2an11，两式相减得：an2an1(an1an)，令bnan1an(n1,2,3，)，则b1a2a11，bn1bn，数列bn是以为首项，为公比的等比数列ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1b1b2bn112.解法二：设an1A(
10、anA)，则an1anAA，根据an1an1可得：AA1，即A2，an12(an2)令bnan2，则b1a121，bn1bn，数列bn是以1为首项，为公比的等比数列bnb1qn1(1)n1，an2bn2.题型2数列求和的方法数列中求前n项和是数列运算的重要内容，高考题中涉及此部分与通项的综合问题，对于等差数列与等比数列可依据公式求其和，对于某些具有特殊结构的非等差、等比数列可转化为利用等差或等比数列前n项和公式能求和的形式，常用方法有公式法、分组法、裂项法、错位相减法等要对通项进行深入研究，找出规律，确定恰当的解题方法等差数列an中，a13，公差d2，Sn为前n项和，求.解析：等差数列an的首
11、项a13，公差d2，前n项和Snna1d3n2n22n(nN*)，1.设数列an满足a13a232a33n1an(nN*)(1)求数列an的通项；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解析：(1)a13a232a33n1an，当n2时，a13a232a33n2an1，由得3n1an，an，在中，令n1，得a1，数列an的通项公式an.(2)bnn3n，Sn3232333n3n，3Sn32233334n3n1.由得2Snn3n1(332333n)n3n1，Sn.题型3数列的应用问题(2013广东卷)设数列an的前n项和为Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an
12、的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解析：依题意，2S1a21，又S1a11，所以a24；(2)解析：当n2时，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以ann2(nN*)(3)证明：当n1时，1；当n2时，1；当n3时，此时，111，综上，对一切正整数n，有.夏季高山上的温度从山脚起，每升高100 m，降低0.7 ，已知山顶处的温度是14.8 ，山脚处的温度是26 ，问此山相对于山脚处的高度是多少？解析：每升高100 m温度降低0.7 ，该处温度的变化是一个等差数列问题设山脚温度为首项a126，山顶温度为末项an14.8，26(n1)(0.7)14.8，解得n17.此山的高度为(171)1001 600(m)答：此山相对于山脚处的高度是1 600 m.
