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1、数形结合思想例题选讲数形结合思想是“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法； 以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。 例题选讲 类型一：集合的运算及韦恩图利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有
2、数轴法、韦恩图法等。当所给问题的数量关系比较复杂，且没有学容斥原理前，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。例1如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） B。 解：阴影部分是M与P的公共部分（转化为集合语言就是），且在S的外部（转化为集合语言就是CIS），故选C。通过上述例子，我们知道：当应用题中牵涉到集合的交集、并集、补集时，用韦恩图比用数轴法简便。类型二：图表信息题此类题目都有图形（或图表）作为已知条件，须联系函数的性质分析求解，解决问题的关键是从已知图形（图表）中挖掘信息.yx1449O图（2）ABCDP图（1）例2直角梯形ABCD如图（1），动点
3、P从B点出发，由沿边运动，设点P运动的路程为x，的面积为如果函数的图象如图（2），则的面积为（ ）A10B16C18D32解：由图象可知,当,说明由及时不变,说明P点在DC上,即CD=5.所以AD=14-9=5,过D作DG则DG=BC=4,由此可求出AB=3+5=8. 选B例3在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01Ay=2x-2 B.y=(x-1) C.y=logx D.y=logx解：解法一:把表中的数值取整数代入下列函数中逐一计算,近似估
4、算,最接近值的一个函数为.故选B.解法二:把表中近似描点连线,对照可得最接近的函数为的图象.故选B.类型三：解析几何中直线与曲线例4曲线y=1+ (2x2)与直线y=r(x2)+4有两个交点时，实数r的取值范围 解析 方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x2)+4为过（2，4）的直线 答案 （类型四：方程（多指二元方程）及方程的曲线交点问题例5已知最小正周期为2的函数y=f(x)，当x-1,1时，f(x)=x，则函数y=f(x)（xR）的图象与y=|logx|的图象交点个数为（ ）A.2 B.3 C.4 D.5解：本题考查周期函数的图象和性质，对数函数的图象和性质及含有绝对的函数的图象的画法，本
5、题考查数形结合思想.xyy=o135由图象可知，有5个交点,故选D.类型五：二次函数类型例6设f(x)=x22ax+2,当x1,+)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围 解法一 由f(x)a，在1,+)上恒成立x22ax+2a0在1,+)上恒成立 考查函数g(x)=x22ax+2a的图象在1,+时位于x轴上方 如图两种情况 不等式的成立条件是 (1)=4a24(2a)0a(2,1)(2)a(3,2，综上所述a(3,1) 解法二 由f(x)ax2+2a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象 如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应
6、的a值（即直线的斜率）分别为1，3，故直线l对应的a(3,1) 类型六：函数知识解应用题 函数知解应用题的题型比较丰富,一般为中档题,其中对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本y(毫克)t (小时)O12341例7某医药研究所开发一种新药.如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效.则服药一次治疗该疾病有效的时间为（ ）A. 4小时 B. 4小时 C. 4小
7、时 D. 5小时解：由已知图象可得将点(1,4)代入可得,.令可得或, 从而得服药一次治疗该疾病有效的时间为,故应选C. 类型七：创新题例8如图,三台机器人和检测台（与均不能重合）位于一条直线上,三台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测,送检程序设定：当把零件送达处时，即刻自动出发送检，当把零件送达处时，即刻自动出发送检，设的送检的速度为，且送检速度是的倍、的倍-2 -1 0 1 2 3（）求三台机器人把各自生产的零件送达检测台处的时间总和；（）现要求三台机器人送检时间总和必须最短，请你设计出检测台在该直线上的位置解：（）由已知得检测台的位置坐标为0，则机器人与检测台的距离分别为又的送检的速度为，则的送检的速度为，的送检的速度为.故三台机器人按程序把各自的生产零件送达检测台处的时间总和为.（）设为检测台的位置坐标，则三台机器人与检测台的距离分别为 于是三台机器人按程序把各自的生产零件送达检测台处的时间总和为.只要求的最小值而由分段函数图象得当时，有即送检时间总和最短为.又检测台与均不能重合，故可将检测台设置在直线上机器人和之间的任何位置（不含的位置），都能使各机器人的送检时间总和最短.
