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1、西城区教育研修学院初二数学研修活动 2014.02.20旋转 教材分析 北京八中 邵峰 2014.2.20一、本章知识的地位与作用图形的旋转是图形变换的第三种基本形式. 它是我们认识和描述物体的形状和位置关系的必要手段, 也是我们解决现实生活中的具体问题, 进行数学交流的重要工具. 旋转是工具性的知识. 学习旋转的基本性质, 欣赏并体验旋转在现实生活中的广泛应用, 不仅是初中学习的重要目标之一, 也是密切数学与现实之间联系的重要桥梁之一.旋转变换在平面几何中有着广泛的应用, 特别是在解（证）有关等腰三角形（主要是等腰直角三角形、等边三角形）以及正方形等问题时, 更是经常用到的思维方法. 此前,
2、 学生已学习了平移、轴对称两种图形变换, 对图形变换已具有一定的认识, 通过本章的学习, 学生对图形变换的认识会更完整, 同时, 也能对平移、轴对称有更深的认识. 进一步建立的几何变换的意识更可帮助我们用运动的观点认识图形，从而使解决问题的思路更加简明、清晰. 旋转及其性质中心对称关于原点对称的点的坐标图案设计旋转的基本知识特殊的旋转中心对称平移、旋转、轴对称的综合运用中心对称图形二、主要内容三、课程学习目标1. 通过具体实例认识旋转, 探索它的基本性质, 理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质. 2. 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形, 欣赏旋转在现
3、实生活中的应用. 3. 通过具体实例认识中心对称, 探索它的基本性质, 理解对应点所连线段被对称中心平分的性质. 了解平行四边形、圆是中心对称图形. 4. 探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合), 灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计. 2014年中考说明中对旋转的要求 基本要求：了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形. 略高要求：能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角. 较高要求：能运用旋转的知识解决简单问题.四、课时安排 本章教学时间约需10课时, 具体
4、分配如下（仅供参考）：图形的旋转 2课时中心对称 2课时旋转的应用(计算与证明及图案设计) 4课时 数学活动、小结 2课时五、教学重点难点 重点： 1. 图形旋转的基本性质. 2. 中心对称的基本性质. 3. 两个点关于原点对称时, 它们坐标之间的关系. 难点： 1. 图形旋转的基本性质的归纳与运用. 2. 中心对称的基本性质的归纳与运用. 六、整体教学建议： 1、明确学习图形变换的大致思路 通过具体实例认识图形变换; 探索图形变换的性质; 依据图形变换的性质进行作图、计算和证明; 利用图形变换进行图案设计; 用坐标表示图形变换.2、注意联系实际旋转与现实生活联系紧密, 为此, 在教学中应列举
5、了大量实例来使学生认识和感受它们, 增强学生对旋转的理解. 利用图形变换进行图案设计、解决实际问题又加强了图形变换与现实生活的联系. 3、注意培养动手操作的意识 教材在探索旋转的性质、中心对称的性质以及如何设计图案最美观等问题时, 安排了转动硬纸板、转动三角板、转动模板等应用动手操作来探索结论的内容. 动手操作是解决问题的一种方法, 应加强学生主动进行动手操作的意识.4、注意概念之间的联系 平移、旋转、轴对称学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致, 主要都是研究变换过程中的不变量, 是研究几何问题、发现几何结论的有效工具. 平移、轴对称、旋转都是全等变换, 只改变图形的位置, 不改变图形
6、的形状和大小. 由于变换方式的不同, 故变换前后具有各自的性质.平移轴对称旋转相同点都是全等变换, 即变换前后的图形全等.不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换, 叫.把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫.把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫.图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.对应点到旋转中心的距离相等; 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等. 旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180), 满足旋转的
7、性质, 由旋转的性质可以得到中心对称性质.旋转中心对称图形性质1对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.对称点所连线段都经过对称中心. 2对应点到旋转中心的距离相等.对称点所连线段被对称中心所平分.3旋转前、后的图形全等.关于中心对称的两个图形是全等图形 中心对称与轴对称中心对称轴对称1有一个对称中心点有一条对称轴直线2图形绕中心旋转180图形沿轴折叠3旋转后与另一图形重合折叠后与另一图形重合 中心对称与轴对可以称类比着学习, 对学生掌握新知识有帮助. 两个图形成中心对称与中心对称图形中心对称中心对称图形区别指两个全等图形之间的相互位置关系.对称中心不定.指一个图形本身成中心对称.对称中心是
8、图形自身或内部的点.联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形）, 那么这个图形就是中心对称图形.如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形, 那么它们又关于中心对称.中心对称图形与轴对称图形中心对称图形轴对称图形1关于某一点对称关于某一条直线对称2图形绕对称中心旋转180后, 与自身重合图形沿对称轴折叠后, 对称轴两旁的部分互相重合以上五点在教学中要注意随时总结, 帮助学生理清概念之间的关系.5、注意用计算机辅助教学利用几何画板的旋转功能, 可以方便地作出一个图形绕某一点旋转某个角度后的图形.利用几何画板的度量功能, 可以发现旋转变换中的不变量; 关于原点对称的点的坐标特征. 进行图
9、案设计时, 利用计算机, 可以让学生直观地看到改变旋转中心、旋转角会出现不同的效果. 同时利用计算机, 可以直观地看到图形运动变换的过程.6、培养学生良好的作图习惯，加强学生对图形的认识和理解. 几何作图是本章教学过程中不可缺少的重要组成部分. 通过作图可以加深学生对旋转的认识和理解. 旋转的过程中, 实际上其运动轨迹均为圆, 利用圆规构造旋转变换的图形是学生应该掌握并熟练应用的. 在教学中，教师应当指导学生利用尺规和其它工具规范作图, 培养学生良好的作图习惯. 同时, 不断渗透在特殊图形条件下利用全等知识实现的间接旋转作图，为学生在证明和计算问题中添加构造类辅助线打下基础. 7、从变换的角度
10、重新认识几何图形, 建立图形变换的意识.图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变. 通过平移、轴对称、旋转变换达到复杂图形简单化、一般图形特殊化, 分散条件集中化的目的. 从图形变换的角度思考问题, 可以整体把握图形的性质, 特别是可以帮助我们从更高的层次理解平行线、截长补短、倍长中线等常用辅助线的作用, 使问题解决更加简洁明确. 当图形运动变化的时候, 从运动变换的角度更容易发现不变量和特殊图形. 我们在教学中可以从两条途径帮助学生逐步建立运动变换的意识. (1) 从解决已知旋转问题到构造旋转解决问题; (2) 从解决特殊图形(等腰三角形、等边三角形、正方形)问题到解决一般图形问题. 七、具
11、体教学建议1. 旋转与中心对称的基本知识. 对于概念部分, 可以从实际例子出发, 通过自身感受, 形成概念, 并进一步加深理解. 对于性质部分, 可以采用课本上的方法, 通过实际的操作, 观察, 猜想性质并加以证明, 也可以按照“点 线段 三角形”的顺序进行研究, 最后得出有关性质.COAABBCOAABBOAA2. 旋转与中心对称的作图.本章中主要的作图问题：按要求作旋转后的图形; 已知旋转前后的图形(或旋转后图形的一部分), 确定旋转中心、旋转角; 作一个图形关于一点成中心对称的图形; 已知成中心对称的两个图形(或已知某一图形是中心对称图形), 确定对称中心; 在平面直角坐标系中, 作一个
12、图形关于原点对称的图形.上述五种作图是本章的基本技能. 在教学中一定要让学生动手完成.3. 三种变换之间的一些联系.连续两次对称轴平行的轴对称变换可实现一次平移.以两垂直直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现中心对称变换. 以两相交直线为对称轴，连续做轴对称变换可实现旋转变换. 例: 已知ABC, 直线PQ、PR, 作ABC关于PQ的对称图形ABC, 再作ABC关于PR的对称图形ABC, 则ABC与ABC的关系是以P为中心将ABC旋转2QPR得到ABC . 由此可知, 将一个图形关于两条相交直线轴对称两次, 则可得到原图形关于两直线交点的旋转两倍夹角后的图形.4. 旋转的应用.从旋转的角度认识静态图形, 发现图形关系. 图形按指令语言要求移动, 解决在图形移动过程中形成的问题.根据题目需要和图形特征有目的的旋转图形的某一部分, 形成新的图形关系来解决问题.(一) 以等边三角形为背景的旋转问题例1、如图, C为BD上一点, 分别以BC和CD为边向同侧作等边ABC, ECD, AD和BE相交于点M. 探究线段BE和AD的数量关系和位置关系. 在图中你还发现了什么结论?当ECD绕点C在平面内顺时针转动到如图所示的位置时, 线段BE和AD有何关系. 在转动的过程中, 特别是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论? 有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢? 如图, A、D、E在一直
