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1、谈初中数学中的图形变换安阳市第六十四中学郭红霞13663726451内容摘要：本文通过分析图形变换与图形认识、坐标、推理证明的联系，解决了一些较有难度的数学问题，使我们了解到图形变换内容对学生数学学习的影响之深远。关键词：图形变换图形认识坐标系引言：新课标这样认为，在初中阶段，空间与图形的内容分为四个方面：图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明。在图形与变换部分对图形的轴对称、平移、旋转、相似提出了明确具体的要求。另外，图形的认识中视图与投影也涉及图形与变换的内容。图形与坐标中也提出了感受图形变换后点的坐标的要求。通过上述比较我们不难看出，课程标准突出和加强了图形变换的内容。教科书的上
2、述变化促使我们深入思考图形变换内容对学生数学学习的影响，发掘学习图形变换内容的价值，从以下三方面加以分析和思考。一、 图形变换与图形认识的联系同图形一样，平移、轴对称、旋转、相似、投影等图形变换在实际生活中也是比较常见的，对于线段、角、三角形、四边形、圆等基本图形而言涉及变换内容的素材丰富，如线段既是轴对称图形又是中心对称图形；角可以看作有一条线绕着端点旋转而成的图形；相交线既是轴对称图形又是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，圆既是轴对称图形又是中心对称图形等。如图1， 图1两条平行且相等的线段就可以从平移和中心对称两个角加以认识。又如，两条相等的线段AB、AC，则可从AB、AC是关于线
3、段BC的垂直平行分线的对称，或以点A为旋转中心，BAC为旋转角的旋转这两个角度加以认识。再如，从旋转的角度理解对顶角相等，如图 2 ABCDo 图2直线AB、CD相交于点O，BOD绕点O旋转180度，则射线OB与射线OA重合，射线OD与射线OC重合，由此可得BODAOC。图形变换与垂直、平行联系密切。对称与垂直有关，平移、相似则与平行有关，如图3图3平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。由此看来，图形的内容都是围绕着基本图形展开的，从图形变换的角度可以加深对基本图形的认识。二、 图形变换与坐标的联系教科书在第五章“相交线与平行线”最后一节安排了平移的概念与性质。在
4、第六章“平面直角坐标系”最后一节安排了用坐标表示平移，探索得出左右或上下平移后对应点坐标的关系：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果将其各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。这个结论对于学习一次函数的图象非常有帮助。例如，正比例函数y=kx的图象上的点是（x,kx）,一次函数y=kx+b的图象上的点是（x,kx+b）.由上而的结论可知，当b0时，把直线y=kx向上平移b个单位长度，就得直线y=kx+b；当b0时，一次函数y=kx+b 的图象
5、上的点可以写作（x,kx-|b|）,把直线y=kx向下平移|b|个单位长度。关于二次函数图象的一些结论也可以用上下平移后对应点坐标的关系加以说明。例如，抛物线y=x2 上的点是（x,x2），将它的各个点的纵坐标都加上1，相应的新的抛物线y=x2+1就是将原来的抛物线y=x2向上平移1个单位长度得到。类似地，可以说明抛物线y=(x-1)2也抛物线y=x2的关系了。三、 图形变换与推理证明的联系图形变换可以帮我们思考证明的途径。如证明等腰三角形两个底角相等时，需要添加辅助线，如在证明前，从变换的角度出发折叠等腰三角形，那么折痕就提示加什么辅助线。又如，证明等腰梯形在同一底上的两个角相等时，通过平移
6、一腰，将等腰梯形在同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，再如，在定直线上找一点，使它与定直线同侧的两个定点的距离的和最小的问题，在作出其中一个定点关于定直线的对称点后，就转化为定直线上找一点，使它与直线异侧的两个定点的距离的和最小的问题，而这个问题就容易解决了。图形变换本身也包含着许多证明的内容。判定一个图形是中心对称图形，实际是证明线段相等；判定一个图形是轴对称图形，实际上是证明线段相等或直线垂直。如图4ABDmaCbO图4证明两条平行线a,b组成的图形是中心对称图形。很容易知道，两条平行线a,b等距离的直线m是它的一条对称轴。在直线m上任取一点O，过点O作直线AB，与直线a交于点A，
7、与直线b交于点B，则OA=OB。这个结论可用于三角形的全等证明如下：过点O作直线CD与直线a,b垂直，与直线a交于点C，与直线b交于点D，则OCOD。abCAO=DBO在ACO与BDO中，有CAODBOACOBDO90度OCODACOBDOOAOB由此可知，两条平行线a，b组成的图形是中心对称图形。进一步可知，由两组平行线所组成的图形是中心对称图形。再如，关于正多边形有这样的结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心；如果正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。我们以正六边形为例加以证明。证明正六边形是轴对称图形：如图5，
8、FOABCDE图5设点O是正六边形ABCDEF的外接圆的圆心。连接CF，OA，OB，OD。以下将证明正六边形ABCDEF关于CF对称。COBBOAAOF3*60度180度CF通过点OCBCD，OBODCF垂直平分BD点B、D关于CF对称同理，点A，E关于CF对称。正六边形ABCDEF关于CF对称，这样的对称轴有3条。正六边形ABCDEF还有3条对称轴。如图6：FOABCDEGH图6过DE的中点G作GH垂直AB，交AB于点H，以下证正六边形ABCDEF关于GH对称。易证DECFAB，所以GHDE点D，E关于GH对称ODOE，点O在GH上又OAOBGH平分AB点A，B关于GH对称。易证GHCFGH垂直平分CF点C，F关于GH对称。正六边形ABCDEF关于GH对称，这样的对称轴也有3条。我们从三个方面对初中图形变换内容进行了探讨，基于以上分析，我们认为初中图形变换内容的学习应关注以下几个方面：与基本图形联系，帮助学生形成运动变化的观点；与坐标联系，让学生数形结合的解决问题；与推理证明联系，提高学生的推理论证能力。参考文献：1 中华人民共和国教育部，全日制义务教育数学课程标准（实验稿）M.北京：北京师范大学出版社，20012 杨裕前，董林伟.数学老师教学参考资料M.南京：江苏科技出版社3 罗增儒.直觉探索方法M. 郑州：大象出版社，1999,9
