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1、专题复习十九第19讲 双曲线一、知识梳理： 1. 双曲线的定义当时, 的轨迹为双曲线; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为以为端点的两条射线2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程性质焦点， 焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率渐近线与双曲线共渐近线的双曲线系方程为： ；与双曲线共轭的双曲线为；等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.；3.学习要点1.定义中一定要注意两定点的距离与常数的关系；2.双曲线上的点到两焦点的连线的有关问题，常用“定义”求解.3.求双曲线方程时要注意焦点的位置二、基础检测：1. 一动圆与两定圆和都外切，则动圆圆心轨迹为A.椭圆 B. 双曲线 C.双曲线
2、的一支 D.抛物线2. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是.3.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故选B。4.如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 ，选C5. P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A）（B）（C）（D）解析设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知，6.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为
3、 ； 解析设双曲线方程为，当时，化为，当时，化为，综上，双曲线方程为或7. 以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解析 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，双曲线方程为8. 已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A BC（x 0） D解析，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B9.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 解析当时，当时，或10. 已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若AEB=60，则该双曲线的离心率e是（ ）A B2 C或2 D不存在解析设双曲线的左准线与x轴
4、交于点D,则，11. 双曲线的渐近线方程是 ( )A. B. C. D. 解析选C12.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A B C D解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B13.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D.【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程三、典例导悟：14.已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程
5、【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组解析 解法一：设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1. 又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8. 故所求双曲线的方程为=1.解法二：设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.15. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为 【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决解析(方法1)由定义知，又已知，解得，在中，由余弦定
6、理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得即的最大值为(方法2) ，双曲线上存在一点P使，等价于 (方法3)设，由焦半径公式得，的最大值为【名师指引】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；（2）点P在变化过程中，的范围变化值得探究；（3）运用不等式知识转化为的齐次式是关键16. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程 解析（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，（2）设渐近线与直线交于A、B，则，解得即，又，双曲线的方程为17. 已知曲线的离心率，直线l过A(a，0)、B两点，原点O到l的距离是。(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程。解：（1）依题意， 由原点O到l的距离为，得 又 故所求双曲线方程为 （2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx1，则点M、N坐标（）、（）是方程组 的解，消去y，得 依设，由根与系数关系，知 = =23，k=当k=时，方程有两个不等的实数根故直线l方程为1
