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1、习题十:等价关系与等价类1设和是集合上的等价关系，用例子证明不一定是等价关系。2试问由4个元素组成的有限集上所有的等价关系的个数为多少？3给定集合=1，2，3，4，5，找出上的等价关系，此关系能够产生划分1，2，3，4，5并画出关系图。4设是一个二元关系，设|对于某一c，有且 ，证明若是一个等价关系，则也是一个等价关系。5设正整数的序偶集合，在上定义的二元关系如下：当且仅当，证明是一个等价关系。6设是集合上的对称和传递关系，证明如果对于中的每一个元素a，在中同时也存在一个b，使在之中，则是一个等价关系。7设是非空集合上的等价关系，确定下述各式，哪些是上的等价关系，对不是的提供反例证明。 a)b
2、)c)d)(即的自反闭包)。8设是实数部分非零的全体复数组成的集合，上关系定义为：，证明是等价关系，并给出关系的等价类的几何说明。9设和是非空集合上的划分，并设和是分别由和诱导的等价关系，那么，细分的充要条件是。10设表示上的模等价关系，表示上的模等价关系，证明/细分/当且仅当是的整数倍。11A，B是全集E的子集，各命题及由这些命题构成的集合X如下所示。 ，其中 p: ; q: ; r: ; s: ; t: ; u: ; v: ; w: ; y: ; z: . 又R是X上的命题间的等价关系，求商集X/R（表示A的绝对补集）。12 R为集合X上的二元关系，求（1） R的等价闭包（即包含R的最小的
3、等价关系）；（2） 求。13 设R是集合A上的等价关系，S是A上的对称关系，试问 是否是A上的等价关系？若是，请给出证明；若不是，请具体分析它具有哪些性质，并对不成立的性质举出反例。14设R是A上的二元关系，定义，证明：若R是A上的等价关系，则S也是等价关系，且S=R。15 设R和S是集合A上的关系，证明或否定下面结论：（1） 若R，S是传递的，则传递的充分必要条件是；（2） 若R，S是等价关系，则是等价关系的充分必要条件是。16 知R，S是集合A上等价关系，且商集为：，显然，也是等价关系，先画出有向图，再写出商集。17证明定义在实数集合R上的关系是一个等价关系。18. 设是A上的等价关系，是
4、B上的等价关系，且。关系R满足：当且仅当且。试证明：R是上的等价关系。19. 设N是自然数集合，定义N上的二元关系R： （1） 证明R是一个等价关系；（2） 求关系R的等价类；（3） 试设计一个从N到N的函数,使得由诱导的等价关系就是关系R。20. 设R是集合A上的一个具有传递和自反性质的关系，T是A上的关系，使得 证明T是一个等价关系。21. 设R是集合X上的关系，对所有的来说，如果有和就有，则称关系R是循环关系，试证明：当且仅当R是一个等价关系，R才是自反和循环的。22. 设R是A上的二元关系，是R的逆关系。证明：R是传递的当且仅当是传递的。23. 给定，R是X上关系，其生成矩阵如下。 问：是否为X上等价关系？如是，写出商集，如不是，说明原因。（是R的对称、传递闭包）24. 已知集合X上的二元关系R的关系矩阵为：求（1）； （2）。25. 集合，R为A上二元关系， 求。
