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1、第四章数字图像的变换域处理数字图像处理的基本方法有两大类：一类是根据图像像素数据的空间表示进行处理，称为空间域法；另一类方法是对图像像素数据的空间表示进行某种变换，针对变换数据进行处理，称为变换域法。图像变换是图像变换域处理的基础，本章将介绍常用的图像变换方法。对于一维函数，定义在上，变换的主要思想是确定一组基函数，正变换定义为： （4-1）其中，为基函数的复共轭，反变换定义为： （4-2）选择不同的基函数，就产生不同的变换，变换可以根据基函数的性质分为正交与非正交、线性与非线性、可分离变换等。4.1傅里叶变换傅里叶变换是常用的正交变换，其变换基函数是，如果函数满足狄里赫莱条件，即：具有有限个
2、间断点、具有有限个极值点且绝对可积，则其傅里叶变换一定存在，正变换为： （4-3）反变换为： （4-4）由于，也就是说傅里叶变换的基函数具有正交特性，傅里叶变换是正交变换。另外，成立，说明傅里叶变换是线性变换，由于傅里叶变换的二维基函数可以写为，二维函数的傅里叶变换为： （4-5）也就是说，二维函数的傅里叶变换可以首先对坐标进行变换，然后再对变换结果进行方向的变换，因此，傅里叶变换是可分离变换。综上所述，傅里叶变换是线性、正交、可分离变换。表4.1给出了一些常用函数的傅里叶变换。表4.1一些常用函数的傅里叶变换函数高斯矩形脉冲三角脉冲冲激脉冲1余弦正弦复指数如果二维函数满足狄里赫莱条件，则其傅
3、里叶变换为： （4-6）其反变换为： （4-7）由于傅里叶变换的基函数为，对于一实函数，其傅里叶变换结果为复函数，可以表示为： （4-8）其中，与分别为变换结果的实部与虚部，根据变换结果，可以获得幅值信息与相位信息，幅值信息表示为： （4-9）相位信息表示为： （4-10）图4.1给出了图像的幅值信息与相位信息。cba图4.1 Lena图像的幅值信息与相位信息, (a)Lena图像, (b) Lena图像的幅值信息，(c) Lena图像的相位信息。4.1.1傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质在傅里叶变换的应用中具有较为重要的作用，表4.2给出了一些重要的傅里叶变换的性质。表4.2傅里叶变换的性质
4、傅里叶变换的性质数学表达式备注线性性质为的傅里叶变换相似性定理为的傅里叶变换位移定理为的傅里叶变换卷积定理为的傅里叶变换微分性质为的傅里叶变换拉普拉斯为的傅里叶变换Rayleigh定理为的傅里叶变换旋转性质为顺时针方向的旋转角度可分离乘积共轭对称性为复共轭周期性为整数，为方向的周期根据傅里叶变换的共轭对称性有， （4-11）说明傅里叶变换的幅值信息是以坐标原点对称的，根据傅里叶变换的周期性性质，傅里叶变换的幅值信息与相位信息是在空间上的延展。对于数字图像函数，其直流分量，位于变换结果的左上角，如图4.1 (a)所示，对数字图像来说，一般习惯上通过位移性质，将直流分量移到变换结果的中心处，根据位
5、移性质，给函数乘以，然后计算其傅里叶变换，即可以将低频分量移到变换结果的中心处见图4.2。图4.2 Lena图像直流分量移到变换结果的中心的幅值信息根据傅里叶变换的性质可以实现某些函数傅里叶变换的快速计算，如计算高斯函数的傅里叶变换，根据表4.1，有 （4-12）将高斯函数改写为： （4-13）其中，根据相似性定理，有 （4-14）如计算高斯函数的傅里叶变换，根据位移定理，很容易得到 （4-15）卷积定理是傅里叶变换比较重要的性质，我们在第二章中利用卷积定理解释了截断、采样对信号的影响，在数字信号处理与图像处理中卷积定理有很重要的应用，例如对于一个未知的线性系统，其输出函数与输入函数的关系可以
6、描述为： （4-16）其中，为此线性系统的冲激响应函数，其唯一的描述了此线性系统，求解冲激响应函数称为线性系统辨识，可以利用卷积定理实现，已知输入函数，通过测量系统的对应输出可以得到，利用卷积定理有， （4-17）其中，、为输出函数、输入函数对应的傅里叶变换，为冲激响应函数，有 ， （4-18）通过求的傅里叶变换可以获得冲激响应函数，即： （4-19）4.1.2离散傅里叶变换及其矩阵表示式（4-3）、（4-3）给出了连续函数的傅里叶变换形式，但在数字信号与数字图像中，信号都是以其有限个抽样点来表示的，定义在离散信号域的傅里叶变换称为离散傅里叶变换（DFT, Discrete Fourier T
7、ransform），也可以说离散傅里叶变换是傅里叶变换针对离散信号的实现方式，如果一维函数由个抽样点表示，其离散傅里叶变换定义为： （4-20）其中，。离散傅里叶逆变换为： （4-21）系数可以置于正变换前面，也可以置于逆变换前面，也可以分为分别置于正变换与逆变换前面，本书为了与MATLAB统一，将系数可以置于逆变换前面。由式（4-20）可以看出，为向量之和，也就是说离散傅里叶变换的直流分量位于频域的零点处。傅里叶变换的周期性质表明，说明傅里叶变换的频谱以为周期重复，根据傅里叶变换的共轭对称性质，有，说明傅里叶变换的频谱以坐标圆点对称。周期性质说明，的幅值信息与是相同的，也就是说，的幅值信息是
8、包含了两个紧邻的半周期，为了在内获得一个全周期，可以通过位移性质，在变换前给乘以，将中心移到处。一维离散线性变换可以表示为变换矩阵形式，对于一个的向量，其离散线性变换可以表示为： （4-21）其中，为变换结果，为的变换矩阵，如果矩阵是非奇异的，其逆矩阵存在，其逆变换可以表示为： （4-22） 如果逆矩阵等于变换矩阵的共轭转置，有 （4-23）则称矩阵为酉矩阵，对应的变换为酉变换。离散傅里叶变换的也可写成式（4-21）的矩阵表示，变换矩阵为： （4-24）其中，将系数分为分别置于正变换与逆变换前面，其逆矩阵为： （4-25）可以看出：离散傅里叶变换的逆矩阵等于变换矩阵的共轭转置，所以属于酉变换。
9、对于任何酉变换都有，说明变换矩阵的各行构成了维向量空间的一组正交基矢量，维向量空间的任意一向量都可以投影到此正交基矢量，所以变换的过程可以理解为在此空间一组基向量的正交投影，变换结果是该向量在对应基矢量的投影系数。逆变换可以理解为在维向量空间的任意一向量可以用单位基矢量的加权和重构。如果变换矩阵的逆矩阵等于变换矩阵的的转置，则变换矩阵为正交矩阵，如果为对称矩阵，则正变换与反变换相同，有， （4-26）离散傅里叶变换属于酉变换，但变换矩阵并不是正交矩阵。如果表示一幅大小为的图像，其中，二维离散傅里叶变换定义为： （4-26）其离散傅里叶逆变换为： （4-27）对于二维情况，将矩阵变换成矩阵的线性
10、变换可以表示为以下的矩阵运算： （4-28）其中，变换核矩阵为四下标的矩阵，可以理解为每行有个块，共有行，每个块又是矩阵。对于二维离散傅里叶变换，变换核矩阵为： （4-29）由于二维离散傅里叶变换是可分离变换，则变换矩阵可以写为： （4-30）其中，为的矩阵，为的矩阵。式（4-28）可以写为： （4-31）可以看出，与具有相同的形式，则称该二维变换为对称变换，二维离散傅里叶变换为可分离的对称变换，可以写成式（4-31）的矩阵形式，由于、均为酉矩阵，其逆变换可以写为： （4-32）如果矩阵、为的矩阵，有 （4-33）则式（4-31）可以进一步简化为： （4-34）其反变换为： （4-35）4.1
11、.2离散傅里叶变换的MATLAB编程与傅里叶变换相关的MATLAB函数主要有fft()、ifft()、fft2()、ifft2()、fftn()、ifftn()、fftshift()。fft()、ifft()为一维离散傅里叶变换的正变换与反变换函数，fft2()、ifft2()为二维离散傅里叶变换的正变换与反变换函数，fftn()、ifftn()为维离散傅里叶变换的正变换与反变换函数。fftshift()的作用是将零频移至变换中心。对于一的图像f，计算其二维离散傅里叶变换的MATLAB的语句为： F=ff2(f);返回值F仍然为的数组，零频在左上角，四个四分之一周期交汇于频率矩阵的中心，由于返
12、回值F是复数数组，其幅值谱可以用函数abs()获得，即：S=abs(F);由于傅里叶变换结果的低频分量很大，使得其它分量显示很不明显，通常取其对数形成相对幅值谱，用以下命令：S=log(abs(F)+1);其对于Lena图像的结果显示于图4.1(b)中，其相位谱可以用以下命令获得，B=atan(imag(F)/real(F); 其中imag()函数取其复数数组各元素的虚部，real()函数取其复数数组各元素的实部，atan()函数计算对应值的反正切。Lena图像的结果显示于图4.1(c)中，为了显示完整的周期，通常将傅里叶变换的零频移至变换中心，用函数fftshift()，其格式为：FC=ff
13、tshift(F);Lena图像的移动后的频谱结果显示于图4.2中，对比图4.2与图4.1(b)，可以看出其移动效果。例4.1利用卷积定理计算两个矩阵A、B的卷积M,N=size(A);P,Q=size(B);p1=M+P-1;q1=N+Q-1;A1=fft2(A,p1,q1);B1=fft2(B,p1,q1);C=A1.*B1;C1=ifft2(C);其中fft2(A,p1,q1)是将图像A扩展为矩阵后再计算其傅里叶变换。4.2离散余弦变换4.2.1离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform, DCT)的变换基矢量为余弦函数，一维离散余弦变换的基矢量为： （4-36）其中， 系数定义为：
