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1、g3.1093 二项式定理一、知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.二、基础训练1.已知（13x）9=a0+a1x+a2x2+a9x9，则a0+a1+a2+a9等于A.29 B.49 C.39 D.12.（2004年江苏，7）（2x+）4的展开式中x3的系数是A.6B.12C.24D.483.（2004年全国，5）（2x3）7的展开式中常数项是A.14B.14C.42D.424.（2004年湖北，文14）已知（x+x）n的展开式中各项系数的和
2、是128，则展开式中x5的系数是_.（以数字作答）5.若（x+1）n=xn+ax3+bx2+cx+1（nN*），且ab=31，那么n=_.三、例题分析例1. 如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.例2. 求式子（x+2）3的展开式中的常数项.思考讨论（1）求（1+x+x2+x3）（1x）7的展开式中x4的系数；（2）求（x+4）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50的展开式中x3的系数.解：（1）原式=（1x）7=（1x4）（1x）6，展开式中x4的系数为（1）4C1=14.（2）（x+4）4=，展开式中的常数项为C（1）4=11
3、20.（3）方法一：原式=.展开式中x3的系数为C.方法二：原展开式中x3的系数为C+C+C+C=C+C+C=C+C+C=C.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.例3. 设an=1+q+q2+q（nN*，q1），An=Ca1+Ca2+Can.（1）用q和n表示An；（2）（理）当3q1时，求.例4 求（a2b3c）10的展开式中含a3b4c3项的系数.四、同步练习 g3.1093 二项式定理1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20 B.219C.220D.22012.（200
4、4年福建，文9）已知（x）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或283.（05浙江卷）在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )(A) 5 (B) 5 (C) 10 (D) 104.(05山东)如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）（A）7 （B） （C）21 （D）5.(05重庆卷)8. 若展开式中含项的系数与含项的系数之比为-5，则n等于( ) (A) 4；(B) 5；(C) 6；(D) 10。6. (05重庆卷)在(1+2x)n展开式中含x3的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等
5、于( ) (A) 5；(B) 7；(C) 9；(D) 11。7.（05全国卷）的展开式中，常数项为 。（用数字作答）8.（2004年全国，13）（x）8展开式中x5的系数为_.9.（2004年湖南，理15）若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n=_.10.已知（x+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.11.若（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+a11；（2）a0+a2+a4+a10.12.在二项式（axm+bxn）12（a0，b0，m、n0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数
6、项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求的范围.13.在二项式（+）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.14.求证：2（1+）n3（n2，nN*）.参考答案基本训练: BCA 4. 35 5. 11例1.解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2=1+，得n=8.设第r+1项为有理项，T=Cx，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.有理项为T1=x4，T5=x，T9=.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r.例2.解法一：（x+2）3=（x+2）（x+2）（x+2）得到常数项的情况有：三个括号中全取2，得（2）3；一个括号取x，一个括号取，一
7、个括号取2，得CC（2）=12，常数项为（2）3+（12）=20.解法二：（|x|+2）3=（）6.设第r+1项为常数项，则T=C（1）r（）r|x|=（1）6C|x|，得62r=0，r=3.T3+1=（1）3C=20.例3.解：（1）因为q1，所以an=1+q+q2+q=.于是An= C+ C+C=（C+C+C）（Cq+Cq2+Cqn）=（2n1）（1+q）n1=2n（1+q）n.（2）=1（）n.因为3q1，且q1，所以0| |1.所以=.例4.解：（a2b3c）10=（a2b3c）（a2b3c）（a2b3c），从10个括号中任取3个括号，从中取a；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中取2
8、b；最后从剩余的3个括号中取3c，得含a3b4c3的项为Ca3C（2b）4C（3c）3=CCC（3）3a3b4c3.所以含a3b4c3项的系数为CC1627.同步练习16 DCDCC A 7.672 8. 28 9. 9 10. 11. （1）-65； （2） -32.12. 解：（1）设T=C（axm）12r（bxn）r=Ca12rbrxm（12r）+nr为常数项，则有m（12r）+nr=0，即m（12r）2mr=0，r=4，它是第5项.（2）第5项又是系数最大的项，有Ca8b4Ca9b3， Ca8b4Ca7b5. 由得a8b4a9b3，a0，b0， ba，即.由得，.13.解：前三项系数为C，C，C，由已知C=C+C，即n29n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）.T=C（）8r（2）r=Cx.4Z且0r8，rZ，r=0，r=4，r=8.展开式中x的有理项为T1=x4，T5=x，T9= x2.14.证明：（1+）n=C+C +C（）2+C（）n=1+1+C+C+C=2+2+2+=2+=3（）2.所以2（1+）n3.
