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1、2012版高三数学一轮精品复习学案：第七章 立体几何7.3空间向量【高考目标导航】一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示1、考纲点击（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；（3）能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理（包括三垂线定理）2、热点提示（1）用直线的方向向量和平面的法向量证明线线、线面的平行关系及垂直关系是本节的重点；（2）多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力及数形结合思想。二、空间直角坐标系1、考纲点击（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；（2）会推导空间两点间
2、的距离公式。2、热点提示（1）通过求点的坐标考查空间想象能力；（2）通过求两点距离考查计算能力；（3）渗透在空间向量的坐标法应用中位进行考查；（4）多以选择、填空的形式考查。三、空间向量用其运算1、考纲点击（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。2、热点提示1、利用向量法证明点共线、线共面、平行、垂直等；2、数量积的运算及应用是考查热点；3、多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中。四、立体几何中的向量方法1、
3、考纲点击（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。2、热点提示（1）考查向量法判定线面位置关系；（2）利用向量法求空间角与距离；（3）在解答题中综合考查空间想象能力，计算能力及数形结合思想。【考纲知识梳理】一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示1、直线的方向向量与直线的参数方程2、用向量方法证明直线与直线平行、直
4、线与平面平行、平面与平面平行3、用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设直线和所成的角为，方向向量分别为，则有，。4、平面的法向量与平面的向量表示（1）平面的法向量已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则向量叫做平面的法向量或说向量与平面正交。（2）平面的向量表示设A是空间任一点，为空间内任一非零向量，任取两点，且，则适合条件的点M都在平面内。式通常称为一个平面的向量表示式。（3）平面的平行或垂直设分别是平面，的法向量，或与重合，。（4）三垂线定理与逆定理三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和
5、这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直。方法提示：平面的法向量的求法设出平面的一个法向量，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标。注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一。二、空间直角坐标系1、空间直角坐标系及有关概念（1）空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴。这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点。X轴，y轴，z轴统称坐标轴。由坐标轴确定的平面叫做坐标平面；（2）右手直角坐标系的
6、含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴方向时，中指一定指向z轴的正方向；（3）空间一点M的坐标为有序实数组（x,y,z）,记作M（x,y,z），其中x叫做M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。2、空间两点间的距离公式设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=注：在空间直角坐标系中，点M（x,y,z）的坐标满足x2+y2+z2=1,则点M的轨迹是一个以原点为球心，以1为半径的球面。三、空间向量及其运算1、空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同
7、；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。2、空间向量的有关定理（1）共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使得=；（2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.注：若与确定平面为，则表示的有向线段与的关系是可能与平行，也可能在内。（3）空间向量基本定理：如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得=。其中，叫做空间的一个基底。3、空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则AOB叫做向量与的夹角，记作,其范围是0,若=/2,则称与互相
8、垂直,记为.两向量的数量积已知空间两个非零向量，则叫做，的数量积,记作,即=（2）数量积的运算律四、立体几何中的向量方法1、直线的方向向量与平面的法向量的确定（1）直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量；（2）平面的法向量可利用方程组求出：设，是平面内两不共线向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为。注：所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？（给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标。）2、空间向量与空间角的关系（1）设异面直线的方向向量分别为则所成的角满足cos=|cos|;（2）设直线的方向向量和平面的法向量分别为，则直线与平
9、面所成角满足sin=|cos|;（3）求二面角的大小如图，AB，CD是二面角-的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小=如图，分别是二面角-的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos=cos或-cos3、点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离【要点名师透析】一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示（一）用向量法证明平行、垂直相关链接1.用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性
10、表示.2.用向量法证垂直问题(1)证明线线垂直,只需证明两直线的方向向量数量积为0;(2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直;(3)证明面面垂直,只需证明两平面的法向量的数量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.3利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线,直线与平面，平面与平面的平行和垂直.（1）设直线的方向向量为直线的方向向量为则（2）设直线l的方向向量为平面的法向量为则（3）设平面的法向量为平面的法向量则例题解析例如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C
11、=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.(1)求证:CM平面PAD;(2)求证:平面PAB平面PAD.思路解析：题目中存在从点C出发的三条两两垂直的直线,故可建立空间直角坐标系,用向量的坐标运算证明线面平行,线线垂直,面面垂直.解答：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC=30.PC=2,BC=,PB=4.D(0,1,0),B(,0,0),A(,4,0),P(0,0,2),M(),=(0,-1,2), =(,3,0)
12、, =(),（1）令为平面PAD的一个法向量，则即令y=2,得（2）取AP的中点E，则（二）异面直线所成的角相关链接高考中对异面直线所成的角的考查,一般出现在综合题的某一步,一般步骤为:(1)平移：要充分挖掘图形的性质,寻找平行关系,如利用“中点”特征等.(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角.寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.(4)取舍：因为异面直线所成的角的取值范围是00），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(，3，0），F（0，4，0）从而9分设平面AEF的法向量为，由得，取x=1，则，即，11分不妨设平面EFCB的法向量为，由条件，得解得所
13、以当时，二面角A-EF-C的大小为60（三）利用向量法解决开放性问题相关链接1.开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有一定的思维深度，用向量法较容易解决.2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.例题解析例如图，已知正方形OBCD所在平面与等腰直角三角形AOD所在平面互相垂直，OA=OD=4，点E、F分别为CD、OA的中点.(1)求证：DF平面AEB；(2)线段AD上是否存在一点M，使BM与平面AEB所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.思路解析：第(1)问用传统方法证明，即利用中位线定理在平面AEB内找一条直线与DF平行；第(2)问用向量法解答比较容易入手.解答：(1)如图，取AB中点G，连结FG，EG；FGOB，FGDE，又FG=OB，DE=OB，FG=DE，四边形EDFG为平行四边形，DFEG，又EG平面AEB，DF平面AEB，DF平面AEB.(2)依题意知平面OBCD平面AOD，OBO
