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1、专题十一 二面角大小求法的研究1、 利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小：例1、如图，P是二面角棱上一点，分别在内引射线，如果=45，=60,那么二面角的大小是 。解析：在上取点，过在平面 内作垂直于的垂线， 连结，则为二面角的平面角,令,而。 为等腰，则注：二面角所在的两个面是对称图形或全等图形，常用定义法找出或作二面角的平面角。2、垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。CDPMBA例2、如图，ABC中，A=90，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面
2、ABC内的射影是AB中点M，二面角PACB的大小为45。求（1）二面角PBCA的正切值；（2）二面角CPBA的正切值。例3 如图在三棱锥中，=90，AC=2，BC=，SB=，求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小。 解析： 。 由于 在 在 。注：二面角所在的两个面如果条件告知了或能作出过一个面内的一点与另一个面垂直的垂线可以应用三垂线定理或逆定理来寻求二面角的平面角。3、找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。POBA例4、 如图,已知二面角-等于120,PA,A,PB,B. 求APB的大小.P例5、如图，已
3、知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且ABPA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。 ACDB例6如图，在三棱锥S-ABC中，SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小 解析：由于SB=BC，且E是SC的中点， 所以 ， 设SA=a,BC=SB=a.又 注：二面角的棱与平面垂直，则棱垂直于该平面与二面角的两半平面的交线，从而寻求二面角的平面角。4、平移或延长（展）线（面）法：将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。例7.正三角形ABC的边长为10，A平面，B、C在平面的同侧，且与的距离分别是4和2，求平面ABC与所成的角的正弦
4、值。BCFEaA5、射影公式：由公式S射影=S斜面cos，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。AHMD1C1B1A1BCD例8.如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD与底面ABCD所成的二面角余弦值的大小。 6、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角例9、在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D(1) 求证:A1C平面AEF；(2) 若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理：“若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相等”试根据上述定理，在AB4，AD3，AA15时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角余弦值的大小。 D1C1A1B1EFDCBA7、向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等。题例同六，则求（2）的另一方法。EDD1FzyxCBAC1B1A1
