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1、美国高中数学一考试题之推广第36届美国高中数学有这么一道考试题即：求出使为非零可约分式的最小正整数n。本文，旨在借助于最大公约数的性质与质数的性质，证明更广泛的一类非零可约分式，并求出使它成立的最小正整数n，同时将指出：上述一试题乃是它的一个特例，颇为有趣。定理1：设p，p为奇质数且pp，若pp2kp为质数（其中k为正整数），则非零可约分式中的最小正整数n为n = pp 。证明：因为p，p为奇质数，pp且ppp2k为质数（k为正整数），由于为非零可约分式，故np0，并设(np ，pn2k)d1 由可知： (np ，p(np)pp2k)d 即是 (np ，p(np)p)d 由于 p(np)p(n
2、p) pp 由与可知：（p(np)p ，np）(np ，p)d 由可知：d整除p，因d1，故pd又因d整除np，故npd t 由可知n的最小正整数为n = pp （这里t1）即非零可约分式中的最小正整数n为n = pp，其中ppp2k特别是：当 p13 ，p5 ，2k6时，应用定理1可知：推论1 非零可约分式中的最小正整数n为：n13135684又如，当 p13 ，p5 ，2k8时，应用定理1可得：推论2 非零可约分式中的最小正整数n为：n131358137386再如：当 p17 ，p11，2k4时，应用定理1可得：推论3 非零可约分式中的最小正整数n为：n171711417191208应当指
3、出的是，定理1的推论1实际上即是美国一试题的结果，由此可见，本文定理1乃是美国29届高中数学一试题之推广定理。需要指出的是，如果把定理1略作改变，它将得到更为有趣的结果，即是定理2 ：设p ，p为奇质数且pp，若ppp2k为质数（其中k为正整数），xp0，则不定方程px2k(xp)y只有两组正整数解(x，y)(1p，pp)，( pp，1p)证明：因p ，p为奇质数且pp，ppp2k为质数（其中k为正整数）不定方程式px2k(xp)y 其中xp，设有正整数解(x，y)，则由得 p(xp)pp2k(xp)y 由得：p(xp)p(xp)y 由可知：xp整除p，因p为质数它只有两个约数即1和p，于是x
4、p1 或xpp 由，可知：xp1 ypp 由，可知：xpp yp1 即此不定方程只有两组正整数解(x，y)(p1，pp)，( pp，p1) 特别是，当p13 ，p5 ，2k6时，应用定理2可得如下结果即是：推论：不定方程5x6(x13)y（其中x13）只有两组正整数解(x，y)(14，76)，(84，6)又如：当p13 ，p5 ，2k18，ppp2k83，应用定理2可得如下结果即是：推论：不定方程5x18(x13)y（其中x13）只有两组正整数解(x，y)(14，88)，(96，6)在结束本文之际，需要指出的是定理1与定理2有密切的关系，后者是前者的进一步发展，建议广大数学工作者再作进一步探讨！主要参考资料1、陈传理：高中数学竞赛基础教程 华中师大出版社1995年2、邱树华：整系数多项式在有理数域上既约性的一个新的判别法则 中国知识经济1999（6）2
