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1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）
2、： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：数码相机定位模型摘要 本文利用光学原理建立物体成像位置关系的数学模型，解决了相机系统标定中的如何确定靶标圆心对应像坐标和固定相机的相对位置等问题。针对如何确定靶标圆心对应像坐标问题
3、，我们分析讨论了各种影像分析方法，基于针孔成像原理和相机坐标系变换矩阵的思想，建立了线性相机模型，利用透视变换矩阵确定摄像机的位置标定思想给出算法，通过找靶标和像平面上对应公切线切点的方法取点，利用取定的点和算法求得相机成像内外参数，利用MATLAB编程求解，求得靶标圆心对应像坐标。结果如下：在问题1要求的三维坐标系下A,B,C,D,E圆心对应的像坐标是（单位：mm）：（-50.78，50.93，417.20），（-24.42，48.88，417.20），（32.77，44.44，417.20），（18.33，-32.20，417.20），（-60.37，-31.53，417.20）.针对设计
4、一种方法检验我们模型的问题，我们采用最小二乘法拟合椭圆，确定中心点，改变所选取的标定点，求得多组中心的值，比较每组中心值与拟合的中心点，差别不大。并对方法的精度和稳定性进行了讨论。针对如何确定两部固定相机相对位置的问题，以物坐标为中间变量，通过坐标矩阵的变换建立模型，给出算法，最终确定两部相机的相对位置。本论文通过两种方法对比分析，结果相对吻合，模型的可信度较高。考虑到畸变因素的影响，本论文进行了模型改进，使模型具有更高的精度，有较强的推广性。关键词：针孔成像 线性相机模型 坐标系变换矩阵 公切线切点 最小二乘法拟合椭圆1、问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码
5、相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直
6、接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 图 1 靶标上圆的像有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示（略）。用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示（略）。问题：（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面；
7、（2） 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024786；（3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。2、模型假设2.1假设相机镜头（凸透镜）前后两侧弧度、介质均相同，即镜头前后两侧折射率相同。2.2 假设相机镜头是很完善的，没有缺损或倾斜等外部形变。2.3 假设物平面和像平面的中心与镜头的光学中心在同一条直线（光轴）上。2.4 假设物平面的点经透镜折射后都可以被像平
8、面接到。2.5 假设问题1中靶标和像平面的图形是已知的。2.6 像平面上点的像坐标的原点为该相机的光学中心，x-y平面平行与像平面。2.7 假设不考虑照相机畸变。2.8 有效焦距为相机镜头光学中心到像平面的距离，即像距。3、符号说明：图像像素坐标系 ：像点像素坐标：图像物理坐标系：像点物理坐标：物点相机坐标系：世界坐标系：物点世界坐标：旋转正交变换矩阵：平移变换矩阵：有效焦距：为相机成像内部参数阵：为相机成像外部参数阵：称为投影矩阵4、模型建立及求解4.1问题14.1.1 问题分析本问题的整体思路是：在仅已知物平面和像平面，相机的其他属性参数未知的前提下，建立照相机模型，确定靶标（物平面）上的
9、点到该照相机像平面的像坐标的映射关系，其中包括照相机成像系统内外几何及光学参数的标定，从而达到只要给定标靶上的点，就可直接通过模型求得其像坐标的目的。 在具体建立照相机模型时，由于照相机与摄相机在成像原理上没有本质区别，因此沿用现有比较成熟的摄机标定技术的理论思想。对于问题1，根据假设，靶标和像平面的图形是已知的，利用针孔成像原理建立模型，引入常用的相机模型坐标体系，确定各坐标体系的转换关系，建立线性相机模型，利用透视变换矩阵的相机标定技术的思想给出算法，求取相机模型的内部参数和外部参数。考虑到上述模型是基于靶标点与像点已确定的前提下才能实现的，而实际上我们看到的只是靶标上的若干个圆和其拍摄的
10、像（圆的变形图），不是模型中要求的“点”。因此我们结合光学成像原理和两图形几何位置关系确定若干组特殊靶标点和对应像点。将靶标点与对应像点带入模型，求得相机成像系统的内外参数。此时只要给出靶标上的点，即可求得其像坐标。建模流程图如下： 建立线性相机模型，给出求解相机成像内外参数的算法靶标点、像点坐标带入模型，求得相机成像内外参数在靶标和像图上确定特殊标靶点及其对应像点给定靶标上圆心，得其像坐标4.1.2 问题1模型建立：4.1.2.1坐标系为了定量的描述光学成像过程，计算机一般采用右手定则定义坐标体系，即图像像素坐标系，图像物理坐标系，相机坐标系和世界坐标系，如图1。【1】 图1 图像像素坐标系
11、：在图像上定义直角坐标系，本模型中原点在图像平面的左下角，是以像素为单位的图像坐标系的坐标。 图像物理坐标系：用物理单位表示图像像素位置，定义坐标系，原点定义在相机与图像平面交点，是以毫米为单位的图像坐标系的坐标。 相机坐标系：相机坐标系是固定在相机上的直角坐标系，其原点定义在相机的光心，轴分别平行于图像物理坐标系的轴，与光轴重合，是物点相机坐标。 世界坐标系：坐标系描述环境中任何物体的位置，根据具体情况而定。4.1.2.2常用坐标系变换关系【2】（1）从世界坐标系 到相机坐标系的变换，世界坐标系中的点到相机坐标系的变换可由一个正交变换矩阵和一个平移变换矩阵表示： （1）用齐次坐标和矩阵形式表
12、示为： （2） 其中：是世界坐标系原点在相机坐标系中的坐标，正交旋转矩阵 且矩阵元素满足：正交旋转矩阵中的三个独立变量，加上平移矩阵中的总共有6 个参数决定了相机光轴在世界坐标系中空间位置，因此这六个参数称为相机外部参数。 (2) 从相机坐标系到图像物理坐标系的理想投影变换(为有效焦距)即针孔模型下的理想透视投影变换，有下式成立 （3）同样用齐次坐标和矩阵表示上式为: (4) 将上式的图像坐标系进一步转化为图像坐标系： (5) 齐次坐标表示为： (6)其中,是图像中心（光轴与图像平面的交点）坐标，分别为一个像素在X 与Y 方向上的物理尺寸，分别为X 与Y 方向上的采样频率，即单位长度的像素个数
13、。由此可得物点P与图像像素坐标系中像点P的变换关系： （7）其中， 分别定义为X 和Y 方向的等效焦距。 等4 个参数只与相机内部结构有关，因此称为相机内部参数。（3） 世界坐标系与图像物理坐标系变换关系（共线方程） （8）齐次坐标表示为： (9) 上式就是摄影测量学中最基本的共线方程,说明物点、光心和像点这三点必须在同一条直线上。这是针孔模型或者中心投影的数学表达式。根据共线方程，在相机内部参数确定的条件下，利用若干个已知的物点和相应的像点坐标，就可以求解出相机的六个外部参数，即相机的光心坐标和光轴方位的信息。4.1.3 算法设计利用透视变换矩阵相机标定思想【3】，写成具体算法如下： 将（9）式写为：
