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1、 无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛，则收敛3、几个重要级数等比级数（几何） ，当 收敛， 发散；P级数 收敛， 发散；当， 又称调和级数。4、级数性质 性质5是级数收敛的必要条件即 收敛 例1、 发散， 例2、 发散， 例3、 发散，但20正项级数判别法正项级数部分和数列单调递增 正项级数 收敛 部分和数列有上界1、比较判别法设，如收敛，则收敛 如发散，则发散例、判别下列级数敛散性（1）（2）解（1）由于 发散，原级数发散（2）由于，而收敛，原级数收敛比较判别法的极限形式如则有时 ，同时收敛，同时发散A=0如 收敛，则收敛A=+
2、如 收敛，则收敛判别下列级数敛散性例、 又发散，原级数发散例、（1） （2） （3）解：（1）由（2） 收敛原级数收敛（3） 发散， 发散2、比值判别法设正项级数的一般项满足则当时，级数收敛，时发散，不定3、根值法设为正项级数，如则当时，级数收敛，时发散，不定正项级数判别其敛散性的步骤：需进一步判别发散首先考察如中含或的乘积通常选用比值法；如是以为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；如含形如（可以不是整数）因子，通常用比较法；利用级数性质判别其敛散性；据定义判别级数敛散性，考察是否存在，实际上考察是否有上界。例、判别下列级数的敛散性 （1） （2） （3）设（4）（5） （6）（7）（8
3、）解：（1） 收敛（2）方法一： 收敛方法二： 收敛 原级数收敛 级数收敛 收敛（3）当 发散 发散 为公比的等比级数 收敛（4） 收敛， 原级数收敛（5） 对 收敛，又由比较判别法知原级数收敛 （6） ，由此值法知收敛 原级数收敛3交错级数的敛散性的判别法 如，则称为交错级数。莱伯尼兹判别法：如交错级数满足：( i ) ( ii ) 则 收敛，且和例、判断下列级数的敛散性。1 解： 收敛2.解： 即 收敛4绝对收敛与条件收敛 定义 P275 为任意项级数 如 收敛 称绝对收敛 如 发散 收敛 称条件收敛 定理，如 收敛 必收敛例、判断级数的敛散性，如收敛，是绝对收敛还是条件收敛 ( 1 )
4、( 2 ) 解：( 1 ) 原级数收敛，且绝对收敛。解：( 2 ) 原级数绝对收敛 原级数发散 原级数为 为交错级数 收敛而 发散 条件收敛幂级数10定义，具有下列形式的函数项级数称为幂级数(令 即上述形式)取 为常数项级数，如收敛，其和为 为常数项级数，如收敛，其和为 为和函数,总收敛对幂级数主要讨论两个问题（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数幂级数的收敛域具有特别的结构定理：（i）如在 收敛，则对于满足的一切 都绝对收敛 （ii）如在发散，则对于满足的一切 发散20幂级数的收敛半径及其求法定理：如幂级数系数满足 则（1） （2） （3）注意：当 的敛散性不能确定，要讨论例1：求下
5、列幂级数的收敛域（1） （2）（3） （4）解：（1）故当原级数为为交错级数，满足 收敛当原级数为发散 收敛域为解（2）由于 故收敛域为解（3） 当原级数为发原级数为为交错级数满足（1） （2）设 ，当， 单调减， 故 收敛 收敛域为-1，1）解（4） 令 当原级数为 发散同理 级数也发散收敛域20幂级数的性质 求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式： 在端点的敛散性与有关。例、求下列幂级数的和函数1、2、解1、R=1，x=1，un0，收敛域为（-1，1）令 （-1，1）解2、收敛域（-，+）令故，例、利用计算幂级数的和函数，求下列级数的和解：记
6、： （-1，1） 30将函数展开成幂函数1、泰勒级数与麦克劳林级数 设函数在的某邻城内具有任意阶导数，则级数 称为在点的泰勒级数特别当，则级数称为的麦克劳林级数2、函数展开成泰勒级数的条件能展开成泰勒级数：收敛于 在，之间3、幂级数展开式的求法 方法1、 直接法：计算 证明：及 方法 2、 间接法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换四则运算，逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式。例 将下例函数展开成的幂函数 解 解 解其中 ， （如 ， 如 ，）解 其中 例 设有两条抛物线 和记它们交点的横坐标的绝对值为求这两条抛物线所围成的平面图形的面积求级数的和解： 得 所围平面图形对称y轴
