动点问题最值

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1、动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离， 和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条 线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆 的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的 值。1如图，ABC EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG.FC相交于点M.当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A2

2、 -扛B. *3 +1C. I； 2D. *3 1提示：点M在以AC为直径的圆上2. （2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2, E是边BC上的动点，BFAE交CD 于点F,垂足为G,连结CG.下列说法：AGGE；AE=BF；点G运动的路径长 为nCG的最小值为5-1.其中正确的说法是 .（把你认为正确的说法的序 号都填上）提示：G在以AB为直径的圆上：正确答案是：3、如图，正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为lcm,如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为B4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，ZA=60是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AM

3、N沿MN所在直线翻折得到AA，MN,连接A，C,则A，C长度的最小值是如图，等腰直角ACB, ac=bc=j5，且PB=2 ,等腰直角ACDP，PCD当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上,并画图说明; 并画图说明.1)2)3)求证：AD=PB若ZCPB=135，求 BD；ZPBC=时，BD有最大值,ZPBC=时，BD有最小值,AC= J2 , F 为 BE 中点.5、将ACDP绕C点旋转.P分析：在厶ABD中有：BDWAB+AD,且AD在BA的延长线上，又 ACB是等腰直角三角形，ZCAB=45,由(1)知ZPBC=ZCAD=180 -45=135BD三AB-AD，当BD=

4、AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB 上, 此时ZCAD=45，所以ZPBC=ZCAD=456、如图，AABC 和厶ADE 都是等腰直角三角形，ZACB=ZADE=90 ,ZBAE=135 ,AD=1,(1) 求CF的长(2) 将厶ADE绕A旋转一周，求点F运动的路径长;(3) AADE绕点A旋转一周，求线段CF的范围.提示：本题根据中点构造三角形相似，AB0Fs ABAE,且OF二2 AE二弓27、如图，AB=4, 0为AB中点，00的半径为1,点P是00 上一动点，以点P为直角顶点的等腰 PBC （点P, B, C按逆时针方向排列）则线段AC的取值范围迈WA

5、PW32B提示:发现定等腰直角AA0C与等腰直角 0BE,从而得到相似.BOPsBEC CE二AE=2j2 在厶ACE 中，AE-CEWACWAE+CE8、如图，ABC是等边三角形，边长为2, D是AC边上一动点，连接BD,O0ABD外接圆，过点A作AEBC交00于E,连接DE，BE.则厶ADE的周长的最小值为_2+杼9、如图，正方形ABCD, AB=4, E为形外一点，且ZAED=9O0,连CE, F为CE的中1. GH 二一AD 二 2 , ZGFH=ZDEA=90,2.点F在以GH为直径的圆上，BF的最大值为；13 + 1二、定点到动点所在定直线的最小值，动点在一条直线上运动，其实质是点

6、到直线的最小 距离。方法：为边向左侧作正厶BEF,则OF的最小值为 E当C在原点时，B (0,5)，此时M (0,-)，所以点M在直线y二丄x + -上运动222PMM - M OM .PM二乞512 1 5OM=AM,点M在OA的垂直平分线上。2、在平面直角坐标系中，A (-3,0), B (3,0), C(0，-3J3)，E为y轴上一动点，以BE提示：点F在如图所示的直线AF上运动。 那两个涂色的三角形始终是全等的3 33ZFAO=30A OF 二二一2书2C3、如图，点D在等边 ABC的边BC的延长线上，点E、F分别是边BC、AB上的点，且AF=BE, 连接EF,以EF为边构造等边 EF

7、G，连接DG,若BD=2,则DG的最小值是3当当E与B重合时，F与A重合，此时BGAC，当E与C重合时，F与B重合，FGAC，所 有点G在过点B且与AC平行的直线上，ZDBG=60，当DG垂直于过B与AC平行的直线 垂直时，DG最小是空3 过 E 作 EHAC，则有 EFHAEGB .ZEBG=ZEHF=60 点G在平行于AC的直线GB上运动。4、如图，OA=3, Z0AB=60, P为射线BO 上一动点，E为0B中点，以AP为边作等边 APC,易证：APHACB （H为y轴负半轴上的那个点）AC=BC, 点C在AB的垂直平分线上.三、根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边他两边的和

8、，最小值就是第三边等于其他两边之差最大值就是让第三边等于其1、15、ACD 中, AD=8, CD= 5，BCAC 于 C，AC=2BC,A则有BD二CD二1、有 AE CE 21 BD 二AE 又 AEWDE+AD=13 ABD=6.522、如图，AB=4, 0为AB中点，00的半径为1,点P是00 上一动点，以点P为直角顶点的BPBB等腰 PBC （点P, B, C按逆时针方向排列）则线段AC的取值范围迈WAPW3迈提示:发现定等腰直角厶AOC与等腰直角 OBE,从而得到相似.BOPsBEC CE= 72 AE=2辽 在厶ACE 中，AE-CEWACWAE+CE5、如图，等腰直角ACB，A

9、C=BC=75，等腰直角CDP，且PB=，将CDP绕C点旋转.PPCD1)2)3)求证：AD=PB若ZCPB=135，求 BD；ZPBC=时，BD有最大值，并画图说明;ZPBC=时，BD有最小值，并画图说明.分析：在厶ABD中有：BDWAB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上， 且AD在BA的延长线上，又 ACB是等腰直角三角形，ZCAB=45,由(1)知ZPBC=ZCAD=180 -45=135BD三AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB 上, 此时ZCAD=45，所以ZPBC=ZCAD=45 四、由三角形第三边小

10、于两边之和推广可以得到，最小值问题，就是要两条线段的和或多 条线段的和构成一条线段，理由是两点之间线段最短.1、如图，四边形ABCD是正方形，AABE是等边三角形，M为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B逆时针旋转60得到BN，连AM、CM、EN.(1) 求证：ABM9AENB；E(2) 当M点在何处时，AM+CM的值最小？BC当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？并说明理由.（3）当AM+BM+CM的值最小值为心3 +1时，求正方形的边长.2. （2015天津）在每个小正方形的边长为1的网格中.点A, B, D均在格点上，点E、F 分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF.（I）如图

11、，当BE諾时，计算AE+AF的值等于硏;肌（口）当AE+AF取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF,并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明） 取格点H, K,连接BH CK相交于点P,连接AP,与BC相交，得点E,取格点M，N连接DM，CN相交3、已知抛物线y二x2 + 2nx - n2 + n的顶点为P,直线y二9x + 3分别交x, y轴于点M,N.（1）若点P在直线MN上，求n的值；（2）是否存在过（0,2）的直线与抛物线交于A, B两点（A点在B点的下方），使 AB为定长，若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，当四

12、边形MABN的周长最小时，求n的值.意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力元二次方程根与【考点】抛物线的解析式求法,坐标的方法,直线与抛物线的交点问题 系数的关系等,坐标系中定值和最值问题44【解析】(1)配方P (n, n)代入y二9x + 3，(2)如图1,设过(0,2)的直线为y二kx 2 ,设川 xi，儿）,B（y 2 ）y 二 kx 一 2,1, y 二（x 一 n）2 + n消元得 x2 + （k 一 2n）x + n2 一 n 一 2 = 0得 n=x + x = 2n 一 k, x x = n 2 一 n 一 2,1 2 1 2（x 一 x ）2

13、= （x + x ）2 一 4x x = k2 + 8 + （4 一 4k）n1 2 1 2 1 2AB2 二（1 + k2） k2 + 8 + （4一4k）n 要使AB为定长，则AB 2的值与n的取值无关，44k=0.：k=1.存在直线y=x2,使AB为定长，且AB=3.;2 .4(3)如图2,易求M( 3, 0), N(0, 3 )，平移AB,使A点于M点重合，则B的对应点G刚 好落在y轴上，因为AB= 3巨，所以G (0, 3).作点G关于直线y=x2的对称点H(5,2).过G作GF丄y轴，交直线AB于F,连FH，所以FH=FG=5,又ZFGA=ZAFH=45，连接NH五、利用对称求最值

14、P2、已知抛物线y二x2 + 2nx - n2 + n的顶点为P,直线y二4x + 3分别交x, y轴于点m,N.(1) 若点P在直线MN上，求n的值；(2) 是否存在过(0,2)的直线与抛物线交于A, B两点(A点在B点的下方)，使AB为定长，若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的条件下，当四边形MABN的周长最小时，求n的值.【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力.【考点】抛物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与 系数的关系等，坐标系中定值和最值问题.12n=5第24题44【解析】(1)配方P (n，n)代入y二9x + 3，(2)如图1,设过(0,2)的直线为y二kx 2,设A(x,yi), B(x2,y2)y 二 kx 2,联立,y 二(x n)2 + n消元得 x 2 + (k 2n) x + n 2 n 2 = 0x + x = 2n k, x x = n 2 n 21 2 1 2(x x )2 = (x + x )2 4x x = k2 + 8 + (4 4k)n121