《求数列通项公式的十种方法(例题+详解)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求数列通项公式的十种方法(例题+详解)（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列a 满足a 二2a + 3x 2n, a二2，求数列a 的通项公式. nn+1n1nn+1 n-2n +12 n解：a =2a+ 3 x 2n两边除以2 n+1,得一n+1= n +，则n+1 n ，故数列n是以一1 1为首项，n +1n2n+12n22n+12n22n2123a3以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得f -1 + (n- 1)一，所以数列a 的通项公式为22 n2n31a (_ n )2n。n 22a a 3a评注：本题解题的关键是把递推关系式a 2a + 3 x 2“转化为卄f ，说明数列f是等差数列, n +1n2
2、n +1 2 n 22 na3 再直接利用等差数列的通项公式求出f 1 + (n 1)，进而求出数列a 的通项公式。2n2na = S1(n1)二、利用 n S S ,(n2)n n 1例2.若S和T分别表示数列a 和b 的前n项和，对任意正整数n nnna 2(n +1)，T 3S 4n。求数列b 的通项公式；nn nn角军：* a 2(n +1)/. a】4d 2Sn n2 3n.Tn 3Sn+4n 3n2 5n2 分 当 n1 时,T外35=8当 n2时,bn Tn Tn1 6n2/.bn 6n2.4 分练习：1.已知正项数列 a ,其前n项和S满足10S二a 2+5a +6且a,a，a
3、成等比数列，求数 nnn n n1315列a 的通项ann解：.10S 二a2+5a+6， 10a =a 2+5a +6，解之得 a =2 或 a 二3n nn11111又 10S =a 2+5a +6(n$2)，n1 n1n1由一得 10a = (a 2a 2) +6(aa )，即(a+a ) (aa 5)=0nnn1nn1n n1n n1Ta+a 0, /.a a =5 (n$2)n n1nn1当a =3时，a =13，a =73 a , a，a不成等比数列/a工3；131513151当 a =2 时，a =12, a =72,有 a 2=a a , a =2,/.a =5n 313153
4、1151n三、累加法例3已知数列a 满足a = a + 2n +1, a = 1，求数列a 的通项公式。nn+1n1n解：由 a = a + 2n +1 得 a a = 2n +1 贝 Un +1nn +1na = (a a ) + (a a ) + + (a a ) + (a a ) + annn-1n-1n232211=2( n 1) +1 + 2( n 2) +1+ (2 x 2 +1) + (2 x1 +1) +1=2(n 1) + (n 2) + + 2 +1 + (n 1) +12( n 1)n=2+ (n 1) +12= (n1)(n+1)+1= n2所以数列a 的通项公式为a
5、= n2。nn评注:本题解题的 关键是把递推关系式 a =a +2n+1 转化为 a a =2n+1 ， 进而求出 n +1nn+1n(a a) + (a a) + + (a a ) + (a a) + a，即得数列a的通项公式。nn1n1n232211n例4已知数列a 满足a = a + 2x3n +1, a = 3，求数列a 的通项公式。nn +1n1n解：由 a = a + 2x3n +1 得a a = 2x3n +1 则n+1nn+1na = (a a ) + (a a ) + + (a a ) + (a a ) + ann n1n1 n232211=(2 x 3n-1 +1) + (
6、2 x 3n - 2 +1)+ (2 x 32 +1) + (2 x 31 +1) + 3=2(3n-1 + 3n - 2 + + 32 + 3J + (n 1) + 3=+ (n 1) + 31 3=3n3+n1+3= 3n + n 1所以 a =3n +n1.n评注：本题解题的关键是把递推关系式a = a + 2x3n +1转化为a a = 2x3n +1 ,进而求出 n+1nn+1na= (a a) + (a a) + + (a a ) + (a a) + a，即得数列a的通项公式。nnn1n1n232211n四、累乘法求数列a 的通项公式.n则齢二 2(n + 1)5n，故 an例6已
7、知数列a 满足a = 2(n +1)5“ x a , a = 3 ,nn+1n 1解：因为 a = 2(n + 1)5n xa , a = 3，所以 a 主 0 ,n+1n 1naaa aa n- n_3 2 an aaaa1n-1n2212( n 1 + 1)5n-12( n 2 + 1)5n - 2 .2(2 +1) x 522(1 +1) x 51 x 32n1 n(n 1)3 x 2 x 5(n1)+(n2) +2+1 x 3n (n-1)3 x 2n1 x 5 2 x n!n (n1)所以数列a 的通项公式为a 3x 2n-1 x5 2 xn!.nn评注：本题解题的关键是把递推关系a
8、 2(n + 1)5n x a 转化为=卄2( n + 1)5n，进而求岀 n+1nan佯-匕-a2 a，即得数列a 的通项公式。 a aa a 1nn1 n22 1例7已知数列a 满足a 1, a a + 2a + 3a + (n一 1)a (n 2)，求a 的通项公式。 n1n 123n1n解：因为 a a + 2a + 3a + (n一 1)a (n 2)n 123n1以 a a + 2a + 3a + (n 1)a+ na(n+1123n1n用式一式得a a na .n+1nn则 a (n +1)a (n 2)n+1n所以 ananan1an-1an23 - a n(n 1) a 22
9、由 a a + 2a + 3a + (n 1)a (n 2),取n 2得a a + 2a，则 a a，又知a 1，则 a 1，代入n 123n12122112第3页共12页n!得 a = 1 3 4 5n =-.n 2所以，a 的通项公式为 annn!a评注：本题解题的关键是把递推关系式a = (n + l)a (n 2)转化为n卄=n + 1(n 2), n+1nanaan n1aan1n2a3-a，从而可得当n 2时，a的表达式，最后再求出数列a 的通项公式。 a 2nn2五.构造等差或等比 a = pa + q 或 a = pa + f (n)n +1nn +1n例8 (2006年福建卷
10、)已知数列a 满足a = 1,a = 2a + 1(n g N a (n + 1)2n +1 n).n1n +1n求数列a 的通项公式；n解：. a = 2a + 1(n g N*),n+1na +1 = 2(a +1),n +1n.a +1是以a +1 = 2为首项，2为公比的等比数列. n1.a +1 = 2n.n即 a = 22 1(ng N*).n例9已知数列 中，a = 1, a = a + (丄)n+i,求a。n1n +1 2 n 2n解：在a =1 a + (丄)“+1两边乘以 2 n+1 得：2n+1 a = (2n a ) +1n+1 2 n 2n +1nn所以 an练习.令
11、 b = 2 n a，贝U b b = 1,解之得：b = b + n 1 = n 1nn +1 nn 1bn 1n 2 n2 n已知数列a 满足 a 2a + 2n - 1(n 2),且 a 81。nnn141)求 a ，a ，a ；123(2)求数列a 的通项公式.n解： (1) a1 = 5，a2 =13，a3=33(2) a 2a + 2n -1 n a -1 2(a-1) + 2nnn1nn1a - 1 a- 1a - 1n n n1+ 1 n n n + 12 n2 n -12 n六、待定系数法例10已知数列a 满足a 二2a + 3x5”, a = 6，求数列a 的通项公式。nn
12、+1n1n解：设a + xx5n+i 二 2(a + xx5”)n +1n将a二2a+ 3 x 5”代入 式，得2a+ 3 x 5” + x x 5”+i二2a+ 2x x 5”,等式两 边消去2a,得n +1nnnn3 5” + x 5”+i = 2x 5”，两边除以 5”，得 3 + 5x = 2x,贝Ux = 1,代入式得 a 5”+i = 2(a 5”)”+1”a 5” +1由a 一51二6一5二1丰0及式得a 一5”丰0，则 二2，则数列a 一5”是以a 一51二1为首项，以21”a 5 ”1”为公比的等比数列，则a 5n二2n-1，故a二2”-1 + 5”。”评注：本题解题的关键是把递推关系式a 二2a + 3x5”转化为a -5”+1二2(a -5”)，从而可知数列a -5”+1”+1” ”是等比数列，进而求出数列a -5n的通项公式，最后再求出数列a 的通项公式。”例12已知数列a 满足a 二2a + 3n2 + 4” + 5, a二1，求数列a 的通项公式。”+1” 1 ”解：设a + x(n +1)2 + y(” +1) + z 二 2(a + x”2 + y” +
