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1、第五章 大数定理和中心极限定理1一 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现在随机的抽取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。解:设第i只寿命为Xi,(1i16),故E (Xi )=100,D (Xi )=1002(l=1,2,16).依本章定理1知 从而3三 计算机在进行加法时,对每个加数取整(取为最接近它的整数),设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(0.5,0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少? (2)几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90
2、 解: (1)设取整误差为Xi(,1500),它们都在(0.5, 0.5)上服从均匀分布。 于是: 8某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8,医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断言的概率是多少?(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问接受这一断言的概率是多少?解:设X为100人中治愈的人数,则XB (n, p)其中n=100(1) (2)p=0.7由中心极限定理知 7七 一复杂的系统,由100个互相独立起作用的部件所组成。在整
3、个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。(2)一个复杂的系统,由n个互相独立起作用的部件所组成,每个部件的可靠性(即部件工作的概率)为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作,问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。解:(1)设每个部件为Xi (i=1,2,100)设X是100个相互独立,服从(01)分布的随机变量Xi之和X=X1+ X2+ X100由题设知n=100 P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=0.1E (Xi ) =p=0.9D (Xi ) =p (1p)=0.90.1=0.09nE (X
4、i ) =1000.9=90, n D (Xi ) =1000.09=9=由中心极限定理知查标准正态分布表=(1.67)=0.9525解:(2)设每个部件为Xi (i=1,2,n)P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=1p=0.1E (Xi ) =p=0.9,D (Xi ) =0.90.1=0.09由问题知求n=?而=1由中心极限定理知=查标准正态分布表得解得n24.35取n=25,即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.八 随机地取两组学生,每组80人,分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值,各人测量的结果是随机变量,它们相互独立,且服从同一分布,其数学期望为5,方差为0.3,以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均:(1)求P 4.9(2)解:由中心极限定理知N (0,1)N (0,1)(1) (2)由Xi , Yj的相互独立性知独立。从而U,V独立。于是UVN (0, 2)而 =20.87491=0.7498九 某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望(未知),方差2=400 为了估计,随机地取几只这种器件,在时刻t=0投入测试(设测试是相互独立的)直到失败,测得其寿命X1,Xn,以作为的估计,为使问n至少为多少?解:由中心极限定理知,当n很大时 = 所以查标准正态分布表知即n至少取1537。58