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1、第六章 定积分的应用重点：定积分元素法的理论依据，在几何上的应用.难点：定积分在物理上的应用需要一定的物理背景.1 定积分的元素法1. 填空题(1) 设在区间上连续且，则定积分表示以及轴和直线所围成平面图形的面积.(2) 在公式中，为了保证和式的极限是的精确值，以近似代替部分量时，要求它们只相差一个比高阶的无穷小量.(3) 一个量可以用定积分表示，必须符合的条件是：)是一个与变量的变化区间有关的量;) 对于区间具有可加性，即如果把分成许多部分区间，则相应地分成许多部分量，而等于所有的部分量之和;)部分量的值可以用近似表示.(4) 由曲线与轴所围成的平面图形的面积为.2 定积分在几何学上的应用1
2、. 填空题(1) 由曲线，与直线所围成的平面图形的面积为 .(2) 设曲线及射线所围成的平面图形的面积用定积分可表示为,这里且在上连续.(3) 设曲线的极坐标方程为则该曲线上相应于从到一段弧与极轴所围成平面图形的面积为.(4) 由连续曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所围成的立体体积用定积分可表示为.(5) 设曲线由参数方程 给出，其中在上具有连续的导函数，且不同时为零，则这段曲线的弧长是.2. 求抛物线及其在点和处的切线所围成的平面图形的面积.解: 如图:过点的切线为,过的切线是,两条切线的交点是,则所求的平面图形的面积是3. 求由圆与心脏线所围成的平面图形的面积.解:，由于图形的对
3、称性故所围成的面积为4. 求曲线在区间内的一条切线，使得该切线与和及曲线所围成的平面图形的面积最值,并求此面积.解：设切点为，则切线为该切线与和及曲线所围成的平面图形的面积为此最值为最大值，此面积为 5. 求由曲线，绕直线旋转一周所围成的旋转体的体积.解：旋转体的体积为6. 过点作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及轴所围成的平面图形，求此图形的面积及其绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积. 解：的导数为，过过点的切线在上的切点为，切线为.该切线与上述抛物线及轴所围成的平面图形如图所示，312其面积为绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为7. 设有一底半径为的圆柱,被一与圆柱的底交角为且过底的直径的平面
4、所截，求截下的几何体的体积.解：取底圆直径为轴，建立直角坐标系，如图所示x人如，则截面的面积为故体积为8. 求星形线在第一象限三等分点的坐标.解：，因此设两个三等分点积分上限分别为，则同理可得9. 算出圆的渐伸线相应于的一段弧的长度.解：的一段弧的长度为10. 计算底面是半径为的圆,而垂直于底面上一条直径的所有截面都是等腰直角三角形的立方体体积.解：如图所示，底圆的一条直径上作为轴，过圆心的垂直直径为轴，则截面的面积立方体体积为x11. 证明: 由平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积为并利用此公式求由与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.解：取为积分变量，在内任意取小区间，在上的平
5、面图形绕轴旋转时的体积为因此体积微元为绕轴旋转一周所成旋转体的体积为12. 证明:由平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的侧面积为 并利用此公式求由与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.解：如图所示在轴上的点与，分别作垂直于轴的平面，它们将旋转平面截得一个狭带.当很小时，此狭带的侧面积相当于圆台的侧面积，即= 其中由于，因此可以由导函数的连续性保证=所以得到因此旋转体的侧面积为2 定积分在物理学上的应用1. 一个物体按规律作直线运动(表示时间),媒质的阻力与速度的平方成正比(比例系数为),计算物体由移至时,克服媒质阻力所作的功.解：如图建立坐标系，0a在上，任意取小区间，物体的速度为，
6、由题意可知阻力为,而，因此功的微元是故.2. 用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比.在击打第一次时,将铁钉击入木板.如果铁钉每次击打铁钉时所作的功相等,问铁锤击打第二次时,铁钉又击入多少?解：如图建立坐标系木板的阻力为，功的微元为，其中为阻力系数.第一次打击木板时所做的功为1+hx+dxx01设第二次打击击入铁钉为cm,则依据题意可得解得(负值舍去) .3. 在一个倒立的等腰梯形水槽(上边,下边,腰长,水槽长)内装满水,若将水槽内的水全部吸尽,问至少要作多少功?解：如图所示，水槽的高度为,两点所在的直线方程为.功的微元是.将水槽内的水全部吸尽需要作的功为，其中为
7、重力常数.3cm2cmA4cm20cmBx+dx象xyx4. 设有一半径为的圆形薄板,垂直放在水中,圆板的圆心与水平面的距离为,求圆板一侧所受的水压力?解：如图所示，建立直角坐标系，圆的方程为，取为积分变量，水压力的微元是， 圆板一侧所受的水压力是其中为水的比重，为重力常数xy5. 设有线密度为常数,半径为的小圆环,一质量为的质点位于圆环中心的垂线上,且离中心的距离为,求圆环对质点的引力.解：如图所示建立坐标系，圆环的方程为，将其转变为参数方程的形式，.圆环上的一小段弧看作一个质点，则根据万有引力公式可知这段小弧对质点P的引力为，由于引力无法直接相加，我们需将引力分解为垂直方向和水平方向。Py
8、xaz由对称性可知，方向的引力为零，因此只有垂直方向上的引力，故因此圆环对质点的垂直方向的引力为圆环对质点的引力为.第六章 综合练习1. 填空题(1) 由与直线及所围成图形的面积为.(2) 由,所围成的图形绕轴旋转一周所形成的立体体积为(3) 曲线上的相应于的一段弧的长度为.(4) 函数在上的平均值为.2. 星形线方程为求(1)它所围成图形的面积; (2)它的周长; (3)它所围成图形绕轴旋转一周的所成旋转体的体积; (4) (3)中的旋转体的表面积.解：如图所示，星形线是对称的，所以（1）；（2）ayx（3）（4）3. 过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形.(1) 求的面积;
9、 (2)求绕直线旋转一周所形成的旋转体的体积.解：如图所示，eyxD过坐标原点作曲线的切线为，（1）的面积为（2）绕直线旋转一周所形成的旋转体的体积为4. 有一立体,它的下底是平面上由曲线和直线所围成的区域, 它的每个垂直于轴的横截面是直径在下底上的半圆,试求该立体的体积.解：如图所示，x取为积分变量，则截面的直径为，因此界面的面积为，所以该立体的体积为5. 等腰三角形薄片,垂直地沉入水中,其底与水平面齐,已知薄片的底为,高为.(1)计算薄片的一侧所受的水的压力; (2)当其顶点与水平面齐,而底与水平面平行,问水对薄板的侧压力是多少?解：（1）建立如图的坐标系，yxBA直线的方程为水压力的微元
10、是薄片的一侧所受的水的压力为，其中是水的比重.（2）建立如图的坐标系，yxOA直线的方程是水压力的微元是薄片的一侧所受的水的压力为,其中是水的比重.6. 某建筑工地打地基时,需要用汽锤将桩打入土层,汽锤每次击打都将克服对桩的阻力而做功,设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比.汽锤第一次击打将桩打进地下.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打所作的功之比为常数,问汽锤击打三次后,可将桩打进地下多深? (2) 若打击次数不限,问汽锤至多能将桩打进地下多深?解：（1）依据题意，土层对桩的阻力为，其中为桩被打进地下的深度.第一打击汽锤所作的功为 .根据设计方案，第二次汽锤所作的功为，第二次打击的深度设为，则解得，第二次打击后桩被击入地下的深度为.汽锤第三次打击所作的功为，第三次打击后桩又被击入的深度设为，则，解得，第三次打击后桩被击入地下的深度为.（2）假设汽锤第次打击后桩被击入地下的深度为. 依据题意汽锤第次打击所作的功为，第次打击后桩又被击入的深度设为，则，解得，因此由数学归纳法可知：第次打击后桩被击入地下的深度为.若打击次数不限,汽锤至多能将桩打进地下深度为.
