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1、教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http:/ 多项式恒等的定义：设f(x)和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.符号“”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.例如：（x+3）2=x2+6x+9, 5x26x+1=(5x1)(x1), x339x70=(x+2)(x+5)(x7).都是恒等式.根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x2).求：a+b+c ； ab+c.解：以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c4.
2、以x=1，代入等式的左右两边，得ab+c0.2. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即 如果 a0xn+a1xn1+an1x+an=b0xn+b1xn1+bn1x+bn那么 a0=b0 ， a1=b1， ， an1=bn1 ， an=bn.上例中又解： ax2+bx+c=2x22x4. a=2, b=2, c=4. a+b+c4， ab+c0.3. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.二、例题 例1. 已知： 求：A，B，C的值.解：去分母，得x2x+2=A(x3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x3)
3、.根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值），当x=0时，26A.A.当x=3时，815B.B.当x=2时，810C.C.本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.例2. 把多项式x3x2+2x+2表示为关于x1的降幂排列形式.解：用待定系数法：设x3x2+2x+2=a(x1)3+b(x1)2+c(x1)+d 把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得x3x2+2x+2=ax33ax2+3axa +bx22bx+b +cxc +d 用恒等式的性质，比较同类项系数，得 解这个方程组，得x3
4、x2+2x+2=(x1)3+2(x1)2+3(x1)+4.本题也可用换元法：设x1=y, 那么x=y+1.把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y换成x 1.例3. 已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求： a和b的值.解：设4x4+ax3+13x2+bx+1（2x2+mx1）2（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4x4+ax3+13x2+bx+14x4+4mx3+(m24)x22mx+1.比较左右两边同类项系数，得方程组； 或.解得.例4. 推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a0)的三个根分别为x1,x2,
5、x3.原方程化为x3+.x1,x2,x3是方程的三个根.x3+(xx1) (xx2) (xx3).把右边展开，合并同类项，得x3+=x3( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)xx1x2x3.比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x1+x2+x3=，x1x2+x1x3+x2x3，x1x2x3.例5. 已知：x3+px+q 能被（xa）2整除.求证：4p3+27q2=0.证明：设x3+px+q（xa）2（x+b）.x3+px+q=x3+(b2a)x2+(a22ab)x+a2b. 由得b=2a，代入和得 4p3+27q24（3a2）3+27(2a3)2=4（27
6、a6）+27（4a6）=0.（证毕）.例6. 已知：f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x225的因式，也是q (x)=3x4+4x2+28x+5的因式.求：f (1)的值.解：g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.为了消去四次项，设g (x)q (x)kf (x), (k为正整数).即14x228x+70k (x2+bx+c)14（x22x+5）k (x2+bx+c)k=14, b=2, c=5.即f (x)=x22x+5.f (1)=4 .例7. 用待定系数法，求（x+y）5 的展开式解：展开式是五次齐次对称式，可设（x+y）5a(
7、x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a,b,c是待定系数.) 当x=1,y=0时，得a=1；当x=1,y=1时，得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16当x=1,y=2时，得31a14b+4c=1.得方程组解方程组，得（x+y）5x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.三、练习511.已知.求a,b的值.2.已知：.求：A，B，C的值.3. 已知：x46x3+13x212x+4是完全平方式.求：这个代数式的算术平方根.4. 已知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除.求证：ad=bc.5. 已知：x39x2+25x+13=a(x+1)(x
8、2)(x3) =b(x1)(x2)(x3) =c(x1)(x+1)(x3) =d(x1)(x+1)(x2).求：a+b+c+d的值.6. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.7. 用x2的各次幂表示3x310x2+13.8. k取什么值时，kx22xyy2+3x5y+2能分解为两个一次因式.9. 分解因式：x2+3xy+2y24x+5y+3；x4+1987x2+1986x+1987.10. 求下列展开式： (x+y)6； (a+b+c)3.11. 多项式x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式分解的结果是( ) (A) (x+y)(yz)(xz) . (
9、B) (x+y)(y+z)(xz).(C) (xy)(yz)(x+z). (D) (xy)(y+z)(x+z).12. 已知( a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1,若S=(x1)4+4(x1)3+6(x1)2+4x3.则S等于( )(A) (x2)4 . (B) (x1)4 . (C) x4 . (D) (x+1)4. (1988年泉州市初二数学双基赛题)13 已知：的值是恒为常数求：a,b,c的值.练习题参考答案1. a=,b= 2. A=1,B=2,C=3 3. (x23x+2)4.由 (x2+p)(ax+) 5. 1 7. 3(x2)3+8(x2)24(x2)38. 先整理为关于x的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。9. (x+y +1)(x+2y+3) (x2+x+1)(x2x+1987)10.x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6. x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.11. (A) 12.(C) 13. a=1, b=1.5, c=2.文章来源：教师之家 http:/ 转载请保留出处相关优质课视频请访问：教学视频网 http:/
