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1、1.4 极限的性质与运算法则 教学目标: 1. 掌握极限的性质及四则运算法则。教学重点：2. 会应用极限的性质及运算法则求解极限 极限的性质及四则运算法则；教学难点：几种极限的种类及求解方法的归纳教学课时：2 学时教学方法：讲授法、归纳法、练习法教学过程：1.4.1 极限的性质性质 1.5(唯一性)若极限lim f (x)存在，则极限值唯一.性质 1.6(有界性)性质 1.7(保号性)右极限lim f (x)存在，则函数f (x)在x 0 x T x0的某个空心邻域内有界若 lim f (x) = A，且 A 0 (或 A 0 (或f (x) 0 (或 0x T x0f (x) 0 (或 A
2、0 ).1.4.2 极限的四则运算法则定理 1.3 若 lim u(x) = A, lim v(x) = B，则(2) lim u(x) - v(x) =lim u(x) - lim v(x) = A - B ；当 lim v(x)二 B 丰 0 时，lim U(X) = lim u (x) = v(x) lim v( x)B证 我们只证 (1) 因为 lim u(x) = A, lim v(x) = B，由定理 1.2 有 u(x) = A+a ,v(x) = B +卩，其中a , P是同一极限过程的无穷小量，于是u (x) 土 v( x) = (A + a) 土 (B +P) = (A 土
3、 B) + (ap).根据无穷小量的性质,a土卩仍是无穷小量，再由定理1.2的充分性可 得.limlu(x) v(x)= lim u(x) lim v(x) = A B .上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况推论 设lim u (x)存在，c为常数，n为正整数，则有 limlc -u(x)= c - lim u(x)；(2) limlu (x)l = lim u(x)n .在使用这些法则时，必须注意两点：(1) 法则要求每个参与运算的函数的极限存在.(2) 商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零例 1 求 lim (x2 2x + 5) x 1初等函数定义域内
4、某点的极限)lim (x2 2x+5)x 1(lim f (x) = f (x ) 、 0 x T x02= lim (x ) lim (2x) + lim5 xT 1 xT 1 xT 1_ (-1)2 - 2 x (-1) + 5 _ 8 例2、一nn1求 lim (ax + ax+ + a 4x + a ).c 01n 1nx T 0解1lim (ax + axn+ + a Ax + a )01n 1nx T x_nn 1lim ax + lim ax+ lim a4x + lim a01n 1nx T xx T xx T xx T X。二 a xn + a xn-i hf a x + a
5、 .0 01 0n-1 0 n可见多项式p(x)当x T x时的极限值就是多项式P(x)在x0处的函数00值即 lim p(x) = p(x) ( 1.4.1)xT x0例3求x臥咤泸解 先求分母极限因为 lim (x + 2) = 0 + 2 = 2 丰 0， xT0所以 lim 2x2 -3*1x T0xf2lim (2x x 02 - 3 x 0 +1_ 1 0+2 2 -3x f1)_ x T 0lim (x + 2) xT0一般地，当lim q(x)丰0时,xT x0有 limxT x0P( x) q( x)p( x0) q( x)1.4.2 )例4解 先求分母的极限lim (x2
6、3 x + 2) = 12 3 x 1 + 2 = 0, x 1先考虑原来函数倒数的极限.2lim (x2 3x * 2)lim (4x3) xT1lim 2 4 x * 3lim 2x T 3 x2 9 3x + 2 - x T 1 x T14 x 一3即甘是x T1时的无穷小由无穷小量与无穷大量的倒数关系,4 x 3得到 lim 2=g x T1 x 3x + 2例 5 求 lim x2 ；4x * 3x T 3 x 2 9解 先求分母极限lim (x2 -9) = 32 -9 = 0，再求分子极限. x 3lim (x2 4x + 3) = 32 4 x 3 + 3 = 0 x 3消去公
7、因子，再求极限x2 4 x * 3limx T 32lim 仁-3)(x -1)x 9 x Tx1lim _1 =lim=3 (x*3)(x3) xT3 x*3 3注意：因为lim (x2 9) = 0，所以不能写成x 32lim (x2 4x * 3)x T 3 lim (x2 一 9)xT3例62 -丄+弓x x2 -2 2 x x2解 lim 2= lim ?x t g x + 2 x + 2 x t g 1 + - +lim (2 -+2)x2 x t g 儿 x = 22 2 _ lim (1+ 冇)x2 xtgx例7因为limx t g x3x2 + 23 x + 5lim x t
8、 g 1 3 2x + x31x 25+ x3x 3 - x + 5 求 lim 2x t g 3x + 2所以 lim x3 2 x + 5x t g 3x + 2一般地，当x Tg时，有理分式(a丰0,b丰0)的极限有以下结果:0n n 1x + ax + a01nlim x t g baxm + bxm+ b01m0,ao bn m.例8求下列极限：1)4 x 2 + 5 x - 32 x3 + 8lim ;xtg3x42x27lim2x t g5 x2 + 3(x - 3)(2x 2 +1)lim3xTg27x3解(1)因为 mn,所以 lim 4丫X 3 = 0 .x t g 2 x
9、3 + 83 4 _ 2 2 _ 7(2) 因为 nm,所以 lim2 = -x t g 5 x2 + 3(3) 因为n=m,所以极限值应为分子、分母最高次项系数之比.即(x _ 3)(2 x2 +1)2lim3= _-xt g2_x方法归纳：1初等函数定义域内某点处的极限值lim f (x)二f (x ) xt x002. “C型”：先求倒数的极限为0,再应用无穷小量和无穷大量的0关系,得无穷大3. “0型” ：A.分子分母为多项式的先分解因式约分再求极限04. “g型”：A分子分母同除以分母的最高次幂g课堂练习：P4612 (2、4、6、8、10、12、14、16)课后作业：P4612 (1、3、5、7、9、11、13、15)课后反思：2= lim (x ) lim (2x) + lim5 xT 1 xT 1 xT 1
