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1、一、填空题(每小题 3分，共15分)1.设事件A,B仅发生一个的概率为 0.3，且P(A) P(B) 0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为答案：0.3解：即所以p(A B) P(AB) 1 p(ab) 0.9.2. 设随机变量X服从泊松分布，且 P(X 1) 4P(X 2)，则P(X 3).答案：解答：由 P(X 1) 4P(X 2)知 e e 2 2e即2 210解得 1，故23. 设随机变量 X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X2在区间(0,4)内的概率密度为fv (y) .答案：解答：设丫的分布函数为Fv(y), X的分布函数为Fx(x)，密度为fx(x)则因为 X U
2、 (0, 2)，所以 Fx( xy) 0，即 Fy(y) FxC. y)故另解在(0,2)上函数y x2严格单调，反函数为 h(y)、些所以4. 设随机变量 X,Y相互独立，且均服从参数为的指数分布，P(X 1) e 2，则 Pmin( X,Y) 1 =.答案：42，Pmin( X,Y) 11 e解答：P(X 1) 1 P(X1) ee2，故21 e 4.5.设总体X的概率密度为(1)x,0 x1, f(x)1.0,其它X1,X2,Xn是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为答案：解答：似然函数为解似然方程得 的极大似然估计为$1In xi1.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1 设A
3、, B,C为三个事件，且 A, B相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若P（C） 1,则AC与BC也独立.（B）若P（C） 1,则AUC与B也独立.（C）若P（C） 0,则AUC与B也独立.（D）若C B，则A与C也独立.（）答案：（D）解答：因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以（ A）， （ B）， 只能选（D）.（C）都是正确的,事实上由图可见 A与C 不独立.S2 设随机变量 X N(0,1)/X(2) . ( E ) 2(2) . (D) 12 (2).()(A)21(C)2答案：(A)解答：X1(2)（x），则P（| X | 2）的值为N(0,1)所以 P(|X
4、| 2)1P(|X| 2)1 P( 2 X 2)(2)12(2)121(2)应选(a).3 设随机变量 X和Y不相关，则下列结论中正确的是(A) X 与Y 独立.(B) D(X Y) DX DY .(C) D(X Y) DX DY . (D) D(XY) DXDY .()答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，xy 0 COV （x, y） 0应选（B）.4 设离散型随机变量 X和Y的联合概率分布为若X,Y独立，则，的值为1618(C)518.()答案：（A）解答：若X,Y独立则有vP(X 2, Y 2) P(Xx X2)P(Y 2)故应选（A）.5 设总体X的数学期望为Xi,X2丄,Xn为来
5、自X的样本，则下列结论中(A)X1是的无偏估计量.（B ） X1疋的极大似然估计量.(C)X1是的相合（一致）估计量.（D）X1不疋的估计量.（）答案:(a )解答:EX1所以X1是的无偏估计，应选（A).三、(7 分)已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为正确的是0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1） 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2） 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解:设A任取一产品，经检验认为是合格品任取一产品确是合格品_则(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A| B)心95 0.9977
6、 .0.857(2) P(B |A) P(AB)P(A)四、（12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数, 求X的分布列、分布函数、数学期望和方差解：X的概率分布为X0123即P27543681125125125125X的分布函数为c 2 318DX3 -5 525五、（10分）设二维随机变量 （X ,Y）在区域D ( x, y) |x 0,y 0, x y1上服从均匀分布求（1） （X,Y）关于X的边缘概率密度；（2）Z X Y的分布函数与概率密度.解: y1） （X,y）的概率密度为x+y=z（
7、2）利用公式fZ（Z）f(x, z x)dx其中f(x,z x) 0,0 x 1,0 z x 1其它2, 0 x 1, x0,其它.1.0或 z 1 时 fz(z)01 时 fZ /x o dx 2xz0 2z故Z的概率密度为Z的分布函数为 或利用分布函数法*x六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点,2均服从N（0, 2 ）分布.求（1）命中环形区域已知命中点的横坐标D （x,y）|1 x2X和纵坐标2的概率;Y相互独立，且（2）命中点到目标中心距离Z;X2 Y2的数学期望.2f (x, y) dxdy1e81e2 ；12-2 1y 8e 8 drx2 y2e 8 dxdyr.2X N
8、（,），今抽取容量为的置信度为0.95的置信区间；（16的样本，测得2）检验假设2因为15S20.12 2415 1.624.996224，0.05 (15)24.99620.05 (15)，所以接受H。.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2样本均值x 10，样本方差s 0.16 .（ 1）求2H 0 :0.1 （显着性水平为0.05）.（附注）t.05（16） 1.746, t0.05（15） 1.753, t0.025 （15） 2.132,解：（1）的置信度为1下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）2 2 2H。：0.1的拒绝域为
9、（n 1）.概率论与数理统计期末考试试题（专业、班级：姓名：学号:-、单项选择题(每题3分共18分)(1)(2)设随机变量X其概率分布为 X-1012P0.2O.3O.1O.4则 PX 1.5()。1(A)0.6(B)1(C)0(D) 12(3)设事件A1与A2同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是()(A) P(A)卩(片傀)(B) P(A)P(AJ P(A2)1(C) P(A) P(A1 A2)(D) P(A) P(AJ P(A2)1(4)(5)设 X1,X2,Xn为正态总体N( , 2)的一个简单随机样本，其中2,统计假设为H。：o( 0已知)H1：0。则所用统计量为()(A)UX
10、 ：B)T(C)2(n 1)S (D)n(Xi )i 1、填空题(每空3分共15分)如果 P(A) 0, P(B) 0, P(AB)设随机变量X的分布函数为(1)P(A)，则 P(BA)则X的密度函数f(x) ， P(X2).(3)设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1)，Xi,X2,X9是来自总体X的样本，丫,丫2, 丫9是来自总体丫的样本，则统计量UX1丫12X9Y92未知，则()是一个统计量n(A)Xi2i 1n2(B) (Xi)2i 1(C) X(D)X(6)设样本Xi,X2, ,Xn来自总体X N( , 2),2未知。(4)服从分布(要求给出自由度)。、填空题(每空3分共15分),
11、3e23. 14.t(9).xex1. P(B)2. f (x) 0三、(6分)设代B相互独立,P(A)0.7 , P(A B) 0.88，求 P(A B).解：0.88=P(A B) P(A)P(B)P(AB)= P(A) P(B) P(A)P(B)(因为代B相互独立).2分= 0.7 P(B) 0.7P(B)3分则 P(B) 0.6 .4分0.7 0.7 0.60.28 6分四、(6分)某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻 T,各电梯在运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。解：用X表示时刻T运行的电梯数，贝U Xb(4, 0.7) .2分所求概率P X 11
12、P X 0五、c4)(0.7)0(1 0.7)4=0.9919.6分(6分)设随机变量X的概率密度为f (x)xe0,x 0其它，求随机变量丫=2X+1的概率密度。当X 0时，丫 1.2分由y 2x 1，得xy 1,x 212 4分从而丫的密度函数为J(y)f(y 1) 12 2y 1.5分0y 11弓2y 1.6 分0y 1因为y 2x 1是单调可导的，故可用公式法计算.1分解:五、(6分)设随机变量X的概率密度为f(x)0,x 0其它求随机变量丫=2X+1的概率密度。解：因为y 2x 1是单调可导的，故可用公式法计算 .1分当X 0时，丫 1.2分由y 2x 1，得xy 1,2 ， %12 4分从而丫的密度函数为fY(y)f(y21)12 2y 1.5分0y 11弓2y 1.6 分0y 1六、(8 分)已知随机变量X和丫的概率分布为而且 P XY 01.(1) 求随机变量X和丫的联合分布；(2) 判断X与丫是否相互独立？因为P XY 01，所以P
