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1、线性规划交点法及其适用范围一、线性规划对于标准的线性规划，我们知道可以用交点法来解决，会比画图来的简单，比如下面这个题目：(2018 成外高新期中 7)设满足约束条件,则的最大值为( )A5 B3 C7 D【答案】C【解析】我们将三个约束条件进行编号，将其看成等式，交点为交点为，分别代入目标函数可得，故最大值为7但是对于所有的线性规划，这样用交点法都没问题吗？比如我们来看一下2017年一道浙江高考题：(2017 浙江 4)若，满足约束条件，则的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】如果按照交点法来解，过程如下：交点为，交点为，分别代入目标函数可得，故最大值为6，最小值为0，范围，选A
2、和正确答案就有出入了，那么问题在哪儿呢？我们先来看一下常规解答：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D所以问题是一般情况下，三个约束条件会导致可行域是封闭的，所以用交点法解决是没有问题的，但是如果三个约束条件画出的可行域不封闭，那么直接用交点法就会做错，这种情况虽然不多，但是相信同学们对于使用这种方法就有些顾虑了，毕竟我们不能为了节约时间而冒着做错的风险事实上我们只需要在多做一步就能得到正确答案，接着本题交点法继续来看，取得最小值的最优解是，是由第两个方程解出的交点，故我们将其代入第方程发现，并不成立，此时我们可以判断可行域并不封闭，那么该最小值取不到，次小值就变成
3、了最小值候选，继续验证此时的最优解是由两个方程解得的，故代入方程，发现满足，故4就是最小值，同时没有了最大值，故范围为. 我们再来看一个天津的高考题：(2015 天津 理2)设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为( )(A)3 (B)4 (C)18 (D)40【答案】C【解析】按顺序解出交点为：交点为，交点为，分别代入目标函数可得，故将候选最优解代入第2个方程，发现不满足，候选最大值变为18，将候选最优解代入第1个方程，满足，故最大值为18当然如果约束条件只有两条，可行域一定不封闭，可以直接采用画图方式来解决，对于约束条件有四条直线，则一定有交点不在可行域内，建议用画图法解决简单总结一下，对
4、于标准的线性规划，交点法适用于三条线的情况，并且最后一定要检验可行域是否封闭二、线性规划含参下面我们来看一下交点法能不能解决线性规划含参问题：已知满足约束条件，若的最小值为1，则a等于( )A B C1 D2【解析】三个交点为，代入目标函数可得分别为，则最小值只能是，故故选B已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为，则实数m等于( )A3 B4 C5 D7【解析】三个交点为，代入目标函数可得分别为，从选项可判断，故只能，即，故选C在约束条件下，若目标函数的最大值不超过4，则实数m的取值范围( )A B C D【解析】三个交点为，代入目标函数可得分别为，易知，故，故选D已知z=2x+y，其中实
5、数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )A B C4 D【解析】三个交点为，代入目标函数可得分别为，选项AD代入不合题意，而选项C代入约束条件易得没有可行域，故选B设x，y满足约束条件，若的最大值与最小值的差为7，则实数( )A B C D【解析】三个交点为，代入目标函数可得分别为，将四个选项代入，只有C符合题意已知实数x，y满足约束条件，如果目标函数的最大值为，则实数a的值为( )A3 B C3或 D3或【解析】三个交点为，代入目标函数可得分别为，将四个选项代入，只有D符合题意若实数x，y满足不等式组且的最大值为5，则a等于( )A B C2 D1【解析】三个交点为，代入目
6、标函数可得分别为，易知最大，则，故选C已知实数x，y满足不等式组，若目标函数取得最大值时有唯一的最优解，则实数m的取值范围是( )A B C D【解析】三个交点为，代入目标函数可得分别为，故需，故选Cx、y满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A或 B2或 C2或1 D2或【解析】三个交点为，代入目标函数可得分别为，当时，此时为最小值不唯一故排除AB，又目标函数斜率应与约束条件中某一条直线斜率相等，故选D设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=4时，取得最小值，则实数a的取值范围是( )A B C D【解析】三个交点为，代入目标函数可得分别为，故需，故选B从上面几个题可
7、以看出，交点法依然可以适用于线性规划的含参问题，不过有时候需要进行一定的讨论，如果是选择题，也可以结合答案简化讨论三、常见的非线性规划前面两个部分我们发现交点法可以适用于线性规划三条直线问题，不管是不是含参的，从中我们发现，其实只要是在交点处取得最值就可以用交点法，那么常见的非线性规划(可行域是线性的)中，目标函数为斜率型的依然可以用交点法来解决(需要注意定点是在可行域的下方还是两侧)，目标函数为距离型的，如果是求最大值，可以用交点法来解决；如果是求最小值，则不能用交点法来解决设x，y满足约束条件，则的最大值为( )A B2 C D0【解析】三个交点为，代入目标函数可得分别为，故选A若实数x，
8、y满足，则的取值范围是( )A B C D【解析】由于故交点只有一个，另外两个交点取不到，代入目标函数可得分别为，故选B(2018 石室期末 14)若满足约束条件，则的取值范围为_【答案】(交点法)(2015 全国1卷 理15)若满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3 (交点法)若实数x，y满足，则的取值范围是( )A B C D【答案】B (交点法) 注意边界(2017 七中期末 2)已知的坐标满足条件，则的最大值为( )A. B.8 C.10 D.16【答案】C (交点法)(2016 山东 文理)若变量x，y满足，则的最大值是( )A4 B9 C10 D12【答案】C (交点法)(2016 江苏)已知实数满足 ，则的取值范围是_.【答案】最小是到直线的距离的平方，最大是到直线1,3交点的距离的平方
