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1、第一章空间向量与立体几何章章末综合提升末综合提升 类型1空间向量的概念及运算1空间向量的线性运算与数量积是整章的基础内容，也是后续学习的工具，可类比平面向量的线性运算和数量积进行运算2向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算素养 类型2利用空间向量证明位置关系1用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明2将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养【例2】在四棱锥P-ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面AB
2、CD，PAADCD2AB2，M为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；解证明：以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)，【例3】长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB4，AD6，AA14，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|2，Q是DD1的中点，求：(1)M到直线PQ的距离；(2)M到平面AB1P的距离解如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2)，B1(0，0，4)类型4利用空间向量求夹角
3、1利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不作出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性2通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养【例4】(2022新高考卷)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点(1)证明：OE平面PAC；解证明：连接OA因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO平面ABC，所以POOA，POOB，所以POAPOB90又PAPB，POPO，所以POAPOB，所以OAOB取AB的中点D，连接OD，DE，则有ODAB又ABAC，所以ODAC因为OD平面PAC，AC平面PAC，所以OD平面PAC因为D，E分别为AB，PB的中点，所以DEPA因为DE平面PAC，PA平面PAC，所以DE平面PAC因为OD，DE平面ODE，ODDED，所以平面ODE平面PAC又OE平面ODE，所以OE平面PAC(2)若ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角C-AE-B的正弦值解由(1)易知OAOB，所以ODAB以D为坐标原点，分别以DB，DO所在直线为x轴、y轴，以过点D且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图因为PO3，PA5，且POOA，所以OAOB4
