《第11～14届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第11～14届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十一届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题一、填空。1计算：2图1a是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为1的七巧板拼成（如图1b），那么这个长方形的面积是（ ）。3有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分。现在甲、乙和丙分别得7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得（ ）分。4图2中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传递的最大信息量是（ ）。5先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和为8
2、，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123，则这个整数的数字之和是（ ）。6智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多同学。老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级的人数应该是（ ）人。7如图3所示，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之和为10500，则线段AB的长度是（ ）。8100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（ ）。二、解答下列各题，要求写
3、出简要过程。（每题10分，共40分）9如图4，圆O中直径Ab与CD互相垂直，AB10厘米。以C为圆心，CA为半径画弧AEB。求月牙形ADBEA（阴影部分）的面积？10甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8：6：5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？（包括结束时刻）。11如图5，ABCD是矩形，BC6cm，AB10cm，AC和BD是对角线。图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（取3.14）12将一根长线对折后，再对折，共对折10次，得到一束线。用剪刀将这束线剪成10等份，问：可以得到不同
4、长度的短线段各多少根？三、解答下列各题，要求写出详细过程。（每题15分，共30分）13华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年：“猛攻苦战是第一，熟练生成百巧来，勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。”现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数。如果这28个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？14一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度线将它分成n等份（mn）。（1）设X是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：X1是m和n的公约数；（2）如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长
5、短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根。试确定m和n的值。第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小学组）（时间2007年4月21日10001130）（市）、区_ 学校_ 姓名_ 考号_一、填空（每题10分，共80分）1、“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为“244041993088” 。如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是_。2、计算：20.75(3.742)941.75_。3、如图1所示，两个正方形ABCD和DEFG的边长都是
6、整数厘米。点E在线段CD上，且CEDE。线段CF5厘米，则五边形ABCFG的面积等于_平方厘米。4、将、从小到大排列，第三个数是_。5、图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米。将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于_立方厘米。（取3.14，水瓶壁厚不计）6、一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于_，从这列数的第_个数开始，每个都大于2007。7、一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自
7、然数是_。8、用一些棱长是1的小正方体码成一个立体，从上向下看这个立体，如图3，从正面看这个立体，如图4，则这个立体的表面积最多是_。二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9、如图5，在三角形ABC中，点D在BC上，且ABCACB，ADCDAC，DAB21，求ABC的度数；并且回答：图中哪些三角形是锐角三角形。10、李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒。已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米。问货车行驶的速度是多少？11、图6是一个99
8、的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小方格填有1至9的数字。小青在第4列的空格中各填入了一个1至9的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数。请写出这个9位数，并且简单说明理由。12、某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分，没有得优的同学的平均分数是80分。已知全班同学的平均成绩不少于90分，问得优的同学占全班同学的比例至少是多少？三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13、如图7，连接一个正六边形的各顶点。问图中共有多少个等腰三角形（包括等边三角形）？14、圆周上放
9、置有7个空杯子，按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，6，7。小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，放置了第k1枚白色棋子后，小明依顺时针方向向前数了k1个盒子，并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了200枚白色棋子。随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放入了300枚红色棋子。请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？一、填空1.解：偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：2
10、549489039812.解：原式20.751.2441.7520.750.12541.7520.87541.750.53.解：CF5，又CD和DF都是整数，根据勾股定理可知CE3，DF4，CD7，所以五边形ABCFG的面积为：1649671（平方厘米）4.解：0.524，0.525，所以：，第三小的数是5.解：如果将瓶中的液体取出一部分，使正立时高度为11厘米，则倒立时高度为15厘米，这时瓶中的液体刚好为瓶的容积的一半，所以瓶的容积相当于一个高22厘米（底面积不变）的圆柱的体积，即瓶的容积是：3.14221727（立方厘米）6. 解：这列数的第一个是3，第二个是6，第三个是18，第四个是（3
11、618）254，第五个是（361854）2162，第六个是（361854162）2486设这列数的第一个为a，则第二个为2a，第三个为6a23a，第四个为18a2a，第五个为54a第六个为162a2a，第n个为2a，因为a3，所以第n个数也可写作2，即从第三个数起，每个数是前一个数的3倍。20074863，而200739，可知从第8个数起，每个数都大于2007.7.解：因为111是奇数，而奇数奇数偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶。而一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数的，设这个次大约数为a，则最大约数为2a，a2a111，求
12、得a37，2a74，即所求数为74.8.解：根据所给视图，可画出这个立体的直观图如下：可知，上下面积为8216（平方厘米），前后面积为8216（平方厘米），左右面积为8216（平方厘米），此立体的表面积共48平方厘米.二、简答下列各题9.解：DACADCC，而DACADCB21，BC，3B21180, B46DAC462167，BAC672188ABC和ADC都是锐角三角形.10.解：客车速度为60千米/小时，18秒钟通过的路程为：300（米）货车长为（15.81.2）3010520（米）18秒钟货车通过的距离为520300220（米）货车速度为44（千米/小时）11.解：用（a，b）表示第a
13、行第b列的方格，第4列已有数字1、2、3、4、5，第6行已有数字6、7、9，所以方格（6，4）8；第3行和第5行都有数字9，所以（7，4）9；正中的“小九宫”中已有数字7，所以只能是（3，4）7；此时，第4列中只余（5，4），这一列只有数字6未填，所以（5，4）6。所以，第4列的数字从上向下写成的9位数是：327468951.12.解：为使全班同学的平均分达到90分，需将2名得优的同学和1名没得优的同学匹配为一组，即得优的同学至少应为没得优同学的2倍，才能确保全班同学的平均分不低于90分，所以得优同学占全班同学的比例至少是.三、详答下列各题13.解：首先按是否是等边三角形分类，图a、图b、图c
14、中有3类等边三角形，红色的有6个，蓝色的有6个，黄色的有2个，共14个等边三角形。图d中有3类非等边的等腰三角形，绿色的有6个，紫色的有6个，棕色的有12个，共24个。所以共有等腰三角形（包括等边三角形）为38个.14.解：依顺时针方向不间断地给这7个盒子编号，则1号盒子可有的号数为1、8、15、7k+1；2号盒子可有的号数为2、9、16、7k+2；7号盒子可有的号数为7、14、21、7k+7（k为整数）。根据规则，小明将第1枚棋子放入1号盒子，将第2枚棋子放入3号盒子，将第3枚棋子放入6号盒子，将第4枚棋子放入10号即3号盒子，将第5枚棋子放入15号即1号盒子，将第6枚棋子放入21号即7号盒子，将第7枚棋子放入28号即7号盒子，按照这个规律，从第8枚棋子开始，将重复上述棋子放入的盒子，即第8枚放入1号盒子，第9枚放入3号盒子，也就是每7枚棋子为一个周期。并且这7枚棋子有2枚放入1号盒子，有2枚放入3号盒子，有2枚放入7号盒子，有1枚放入6号盒子，2、4、5号盒子未放入棋子。各盒子中的白子数目如下表。2007284，经过28次循环后，第197枚棋子放入1号盒子，第198枚棋子放入3号盒子，第199枚棋子放入
