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1、X4-1-1极坐标系一、平面直角坐标系平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换（显然，伸缩变换下：直对直，曲对曲）二、极坐标系1 【概念】极点：定点，极轴：射线，极径，极角，极坐标，一般地，极坐标与表示同一个点；极点的坐标为2 极坐标与直角坐标的互化：极坐标系说明：点与点关于极点对称【判断点在不在曲线上，注意的转化】三、简单曲线的极坐标方程1 圆心坐标为，半径为的圆的极坐标方程：2 直线与极轴所成的角是，且极点到直线的距离为，则直线极坐标方程：3 直线过点且与极轴所成的角是，则直线极坐标
2、方程：4 极坐标系下的两点间的距离公式：【说明】1与4本质上是余弦定理的直接体现写直线的极坐标方程，或利用极点到直线的距离是定值，或利用正弦定理圆锥曲线中，涉及焦点弦，焦半径问题，用圆锥曲线极坐标方程表示，运算较为简单圆锥曲线极点坐标方程为：，其中为焦点到准线的距离椭圆，双曲线：，抛物线：例题：题型一 极坐标方程化直角坐标方程思路提示 对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系.例1 在极坐标系中，圆的圆心到直线()的距离是 .变式1 已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线与交点的极坐标为 .变式
3、2 和的极坐标方程分别为,.(1)把和的极坐标方程分别化为直角坐方程;(2)求经过和交点的直线的直角坐标方程.变式3 已知一个圆的极坐标方程是，求此圆的圆心和半径.【解答】例1分析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析 极坐标系中的圆转化为平面直角坐标系中的一般方程为，即，其圆心为，直线转化为平面直角坐标系中的方程为：，即.圆心到直线的距离为.变式1 ；变式2（1），（2）；变式3 ，半径为5.例2 极坐标方程表示的图形是（ ）A. 两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线变式1 极坐标方程和参数方程（参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线 B.
4、直线、圆 C.圆、圆 D.直线、直线变式2 在极坐标系中，点到直线的距离是 .变式3 （2012陕西理15）直线与圆相交的弦长为 .【解答】例2分析 将极坐标方程化为直角坐标方程.解析 因为，所以或.，得，表示圆心在原点的单位圆；表示轴的负半轴，是一条射线.故选C.变式1 A ；变式2 ；变式3 .题型二 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示 如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式，将直角坐标方程化为极坐标方程.例1 （2012辽宁理23）在直角坐标系中，圆：，圆：.（1）在以为极点，轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆, 的极坐标方
5、程，并求出圆, 的交点坐标（用极坐标表示）;（2）求出与的公共弦的参数方程.变式1 (2012 江西理 15)曲线的直角坐标方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为 _.【解答】例1 解析 （1）圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为.解得，故圆与圆的交点的坐标为.注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由，得圆与圆的交点的坐标分别为.故圆与的公共弦的参数方程为.解法二： 将代入得，从而.于是圆与的公共弦的参数方程为.变式1.练习1.极坐标方程表示的曲线为（ ）A. 一条射线和一个圆 B. 两条直线 C. 一条直线和一个圆 D. 一个圆 2.圆的圆心的一个极坐标
6、是（ ）A. B. C. D. 3.在极坐标系中，若等边的两个顶点是，.那么顶点的坐标可能是（ ）A. B. C. D. 4.在极坐标系中，为极点，已知两点的极坐标分别为，,求的面积.5.例在极坐标系中,圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切,求实数a的值6.例在极坐标系()(中,曲线的交点的极坐标为 .7.例在极坐标系()(中,曲线的交点的极坐标为 .8.例在极坐标系中,点到圆 的圆心的距离为(A)2 (B) (C) (D) 9.例在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是(A) (B) (C) (D)10.例已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = .11.例在
7、极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为_12.例在极坐标系中,点(2,)到直线sin=2的距离等于_.13.例在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为(A) (B)(C) (D) 14.例在以为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点.若是等边三角形,则的值为 .15.例已知曲线的极坐标方程为,则与极轴的交点到极点的距离是 .16.例若以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段的极坐标方程为( )A. B. C. D.17.例在极坐标系中,曲线与的方程分别为与,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线与交点的直角坐标为_18. 例在
8、极坐标中,圆上的点到直线距离的最大值是_.19.例已知直线的极坐标方程为,点的极坐标为,则点到直线的距离为_ .20.例在直角坐标系 中,直线,圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求的极坐标方程.(II)若直线的极坐标方程为,设的交点为,求 的面积.参考答案1.C 解析 ，所以，故. 故选C.2 .C 解析 将极坐标方程化为平面直角坐标系方程为，表示圆心在，半径为2的圆，圆心的极坐标为. 故选C.3B 解析 因为为等边三角形，所以的垂直平分线上，如图16-44所示，点的极径为，极角为，所以的极坐标为，故选B.4. 解析 如图16-45所示，,因为 .所以，.5.解：，圆=2
9、cos的普通方程为：， 直线3cos+4sin+a=0的普通方程为：， 又圆与直线相切，所以解得：，或。 6.解.由极坐标方程与普通方程的互化式知, 这两条曲线的普通方程分别为. 解得由得点(-1,1)的极坐标为. 7.解:转化为直角坐标系下的交点,可知交点为:(1,0) 该点在极坐标下表示为: 8.解D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化,考查两点间距离. 【解析】极坐标化为直角坐标为,即.圆的极坐标方程可化为,化为直角坐标方程为,即,所以圆心坐标为(1,0),则由两点间距离公式.故选D. 9.【答案】B 【命题立意】本题考查了极坐标方程与普通方程的转化,利用等价转化
10、思想解答问题.把圆的极坐标方程转化为普通方程后得到圆心的直角坐标,再转化为极坐标. 【解析】由得,又由,得圆的普通方程为即,所以圆心为(0,-1),所以圆心的极坐标是 10.解 因为C的直角坐标系方程为,所以,因为,所以. 11.解:联立方程组得,又,故所求为. 12.解 1 极坐标系中点对立直角坐标系中坐标为,极坐标系直线对应直角坐标系中直线方程为,所以距离为1. 13.解B【解析】在极坐标系中,圆心坐标 所以选B 14.解3 圆的方程为,直线为. 因为是等边三角形,所以其中一个交点坐标为,代入圆的方程可得. 15.解 【解析】 【考点】极坐标的基本概念 16.解A 解析 依题意,方程y=1
11、-x的极坐标方程为(cos +sin )=1,整理得=.因为0x1,所以 0y1,结合图形可知,0. 解析二: 所以选A. 17.解(1,2)解析:本题考查极坐标与平面直角坐标系的互化.由得,即,由得.联立和,解得,所以则曲线与交点的直角坐标为(1,2). 解析2转化为直角坐标系方程后易得结果. 18.解 解析:由题意,转化为普通方程为,即;直线转化为普通方程为,则圆上的点到直线的距离最大值是通过圆心的直线上半径加上圆心到直线的距离,设圆心到直线的距离为,圆的半径为,则圆上的点到直线距离的最大值. 19.解 解析:依题已知直线和点可化为和,所以点与直线的距离为,故应填入. 20.解(),() 分析:()用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得,的极坐标方程;()将将代入即可求出|MN|,利用三角形面积公式即可求出的面积. 解析:()因为, 的极坐标方程为,的极坐标方程为 ()将代入,得,解得=,=,|MN|=-=, 因为的半径为1,则的面积=. 第 - 9 - 页 共 9 页
