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1、高等数学竞赛一、 填空题sinx1. 若 lim(c osx - b) = 5,则 a=, b =.xT0 e x - an* nx2 + 12. 设/(x) = lim,则/(x)的间断点为x =3曲线y=lnx上与直线x + y = 1垂直的切线方程为4已知 f (ex ) = xe-x ,且 f(1)=0,则 f(x)=5设函数y(x)由参数方程x = t3 + 3t +1 确定,则曲线y = y(x)向上凸的x取值 y =t3 -3t+1范围为6.设 y = arctan ex - ln T dy，则页x=1丄.7若x T 0时，(1 一 ax2)4 - 1与xsinx是等价无穷小,则
2、a=.2 1, 1xex , W x 1 2 ,则 J1 f (x - 1)dx =1 ,x n28设 f (x)= ，则存在5 0 ,使得【(A)f(x)在(0, 5 )内单调增加.(B ) f(x)在(-5，0)内单调减少.(C)对任意的x e (0,5 )有f(x)f(0).(D)对任意的13.设 f (x) = |x(1-x)|,则【】x = 0是/(x)的极值点,但(，0)不是曲线y = /(x)的拐点.x = 0不是f(x)的极值点,但(，0)是曲线y = f(x)的拐点. x = 0是/(x)的极值点,且(0,0)是曲线y = /(x)的拐点.x = 0不是/(x)的极值点，(0
3、,0)也不是曲线y = /(x)的拐点.(A )(B )C)D)=J x sin 13 dt,0使排在后面的2J 2 ln(1+ x)dx.(D) J 2ln2(1+x)dx1114. lim lnns(1+ )2(1+ 2)2(1+ 2)2 等于n nn (a) J 2ln2 xdx.( B) 2J 2ln xdx .( c) 11| x | sin( x - 2)15.函数f (x)=班 _ )(% _ 2)2在下列哪个区间内有界【】(A)( ? 1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).16.设 f( x)在(?，+ ?)内有定义，且 lim f (x) = a，
4、g (x)= f(a). 使得 f(x0)f(b). 使得 f( x0)二 . 使得 f(x0)=0.17.设f(x)在a,b上连续，且f(a) 0，f(b) 0 0， x=0 ， F(x)=-1 , x 0(A) F(x)在x=0点不连续.(B) F(x)在(?，+ ?)内连续，但在x=0点不可导(C) F(x)在(?，+ ?)内可导，且满足F(D) F(x)在(?，+ ?)内可导，但不一定满足F (x) = f (x).三、解答题19 求极限limxtO x31 ( 2 + cosx 20 设函数f (x)在(-8 + )上有定义，在区间0, 2上,f (x) = x(x2 - 4),若对
5、任意的x都满足 f (x) = kf (x + 2),其中k为常数.(I)写出f (x)在-2, 0上的表达式；(II)问k为何值时,f (x)在x = 0处可导.21设f (x)，g (x)均在a,b上连续，证明柯西不等式422设 e a b (b-a)，e 223ex + e - x曲线y = 一2一与直线x = 0,x =t(t 0)及y = 0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其S (t)s (t)体积为V(t),侧面积为S(t)，在x =t处的底面积为F(t).(I)求 的值;(II)limV (t)tT+ F (t)24 设 f( x), g (x)在a, b 上
6、连续，且满足 J f (t )dt J g (t )dt， x ? a, b)， J f (t )dt = J g (t )dt.aaa证明：J bxf (x)dx 0，函数f (x) = ln x-+ k在(0, +8)内零点的个数为(A) 0( B ) 1( C) 2( D) 3e=(a，且 f x0 g (x) 0，则 I1 f (x) dx,102、3、4、5、6、7、8、1、2、3、4、5、6、7、8、设 F （x）= 若在0,1上有 f（0）=g （0=）0f, =（1g）=J 1 g （x） dx，I =J1 axdx的大小关系为0 3 0 （A ）1、1、1 （ b ） 1、1
7、、1 （ C） 1、112323132由平面图形0 a x b，0 y f（x）绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 （A）V = 2k Jbxf （x）dx （B）V = 2k Jb f （x）dx （c）V = Jb f 2（x）dx （D）V = Jb f （x）dxaaaap（1，3,-4）关于平面 3x + y 一2z = 0的对称点是（a ） （5,-1，0） （b）（5，1，0） （c）（-5,-1，0）（d）（-5，1，0） 设D为x 2 + y2 R 2，D1是D位于第一象限的部分，f（x）连续，则JJ f（x2 + y2）% =（A） 8JJf（x2）db （b）0（c）JR d
8、xJR f（x2 + y2）dy（d）4JJf（x2 + y2）dc-R- Ra为常数，则级数n=1sin（na ）n 2Di(A )绝对收敛(B )发散C )条件收敛(D )收敛性与a的取值有关二、填空题tan 3 2 x。x 、lim(1-)=。xx 4ex 1具有n个不相等实根的n次多项式，其一阶导数的不相等实根至少有个。k K对数螺线P = e在点(P， ) = e 2处的切线的直角坐标方程为。设 f (x)是 x 的二次多项式，且(1x)f(x 片 2 x =，f (0) =1，则 f (x)=。设 y = sin x2，则 dy = d(x3)。2 8x7 + x4 + 4x3 +
9、 2x2 3x +1 丁J 2dx =。-2x 2 +18 ( 1+ a若级数乙收敛，则常数a =。nn =1fffz ln( x2 + y2 + z2 + 1)三重积分 JJJdxdydz =。一x 2 + y 2 + z 2 +10x2 + y2 + z2 勺8*、已知曲线y = x3-3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2 =。9、设工为上半椭球面 +4 + z2 =】，(zn0)，已知 工的面积为s，则曲面积分 JJ(4x 2 + 9y 2 + 36z 2 )dS =。X 2 n+13n n=110、三元函数u = z 一 ez +2 xy在点U，1，1)处沿该点的向径方向
10、的方向导数为。10*、设 f (丄)=，且 /(x)可微，则 f(x)=。x1 + x11、设 y = Jxsint dt(0x)，则曲线 y = y(x)的长度为。011*、若 J f (x)dx = xex + C，则 /(x)=。9*、级数乙设a, b, c都是单位向量，且满足a + b + c = 0，则a - b + b - c + c - a = 12*、函数y - 3x的拐点为。12、A?三、按要求做下列各题。1、求极限limx2 (x+ 2- 3x + W xo )2、已知函数y = f(x)对一切x满足 x T + xxf(x + 3x f 邈 幷一1俎在点x丰处取得极值，问f(x)是极大值还是极小值，并证明你的结论。1 + ln x 7严 x 7计算下面积分。1、Jdx 2、J 3 dxx-x + xx工 sin2 x4f (x, y )为 D :x2 + y2 y,x - 上的连续函数，四、五、2、f (x, y)二 0 f (a) -f ) 0。证明：在(a，b)内存在 7，使得fG) = f (7)。八、设函数y = y(x)由方
