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1、探索平行四边形存在性问题：一，构建动场1在平面直角坐标系中，A0,-1B0,2C2,0，假设以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么D的坐标为2在平面直角坐标系中，A:1,1B:3,3C2，5，假设以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么D的坐标为二自主学习、合作探究活动一：三点找第四个点构成平行四边形知3求1如图，一次函数y=-吉x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.1求这个抛物线的解析式；2作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值？最大值是多少？求第四个顶点D的坐标.【解答】解：1
2、：y=-+2分别交y轴、x轴于A、B两点,2A、B点的坐标为：A0,2，B4,0,将x=0,y=2代入y=-x2+bx+c得c=2,将x=4,y=0代入y=-x2+bx+c得0=-16+4b+2,抛物线解析式为：y=-x2+x+2；2如图1，设MN交x轴于点E,零1零1那么E:t,0,BE=4-t./ADC0A2-tan/abo-t芍亍,ME=BE?tan/ABO=4-t又N点在抛物线上，且XN=t,yN=-t当t=2时,MN=yN-ME=-t2-二t=-t2+4tMN有最大值4;3由2可知,A0,2,M2,1，N2,5.以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形,如图2所示
3、.i当D在y轴上时，设D的坐标为0,a由AD=MN,得|a-2|=4，解得ai=6,a2=2从而D为0,6或D0,-2，ii当D不在y轴上时，由图可知D3为DiN与D2M的交点,易得DiN的方程为y=-二x+6,D2M的方程为y=fx-2,由两方程联立解得D为4,4故所求的D点坐标为0,6，0,-2或4,4.小结：三定点，步骤：1，画：1连三角形，2过每个顶点做对边的平行线，三条平行线的交点即为第四点。2，求：点的平移，对边平行且相等针对练习：抛物线y=ax2+bx+ca0过点A-3,0，B1,0，C0,3三点1求抛物线的解析式；2假设抛物线的顶点为P,求/PAC正切值；3假设以A、P、C、M
4、为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.59a-3b4c-0*a+b+c=O,c=3fap-l解得：z_2,lc=3y=-x2-2x+3;2y=-x2-2x+3=-x+12+4,P-1,4，丄I.,.打亠.:,PA?=PC2+AC2/PCA=903直线AC的解析式是：y=x+3,直线AP的解析式是：y=2x+6,直线PC的解析式是：y=-x+3,当AC是平行四边形的一条对角线时：PC/AM,AP/CM,利用两直线平行k的值相等，即可得出:直线MC的解析式是：y=2x+3,直线AM的解析式是：y=-x-3,M-2,-1，当PC是平行四边形的一条对角线时：同理可得二M2,7,当AP是平行四边形的
5、一条对角线时：二M-4,1,或M-4,1.或M-4,1.活动二：两点找两个点构成平行四边形知2求2例2：如图，抛物线与x轴交于A-2,0，B:6,0两点，与y轴交于点C0,-4.1求抛物线的解析式；2点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN/BC,交AC于点N,连接。皿，当厶CMN的面积最大时，求点M的坐标；3点D4,k在1中抛物线上，点F为抛物线上一动点，在y轴上是否存在点E,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点E的坐标；假设不存在，【解答】解：1设抛物线的解析式为y=ax+2x-6,将点C的坐标代入，求得a.抛物线的解析式为2设点M的坐标为m,0，过
6、点N作NH丄x轴于点H如图1.点A的坐标为-2,0，点B的坐标为6,0,二AB=8,AM=m+2.MN/BC,AMNAABC.H=j2COABNH=r-1212MXCO”NHm+24-m2+m+3m22+4.当m=2时，Sacmn有最大值4.此时，点M的坐标为2,0.3点D4,k在抛物线y=x2-丄x4上,当x=4时，k=4,D点的坐标是4,-4.如图2，当AF为平行四边形的边时，AF/DE,D4,4,E0,4，DE=4.7rVEIyj1F圏2Ei-6,0，E22,0.如图3当AF为平行四边形的对角线时，设E:n,0，那么平行四边形的对称中心为乎，0.E的坐标为n-6,4.把En-6，4代入y
7、二丄x2-生x-4，33得n2-16n+36=0.解得n=82：E38-2打，0，E48+2W，0.小结：定两点（分两类）（一）为边：1.画：做平移；找全利用求的过程把落下的找到。数形结合一与求相结合2.求：1点的平移，对边相等。|xiX2定长（例2,两定点在x轴上或平行于x轴（2）斜向平移：对定点到对角线的距离相等。自主探究1:两定点连线为斜线段，（3）y1y2定长。自主探究2:两定点在y轴上或平行与y轴，（二）为对角线：1画：找中点，另一条对角线旋转寻找所有可能具体问题具体分析2求：中心对称，具体问题具体分析全等问题针对练习2：如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A-3,0，点B1,
8、0，交y轴于点E:0,-3.点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线I过点F且与y轴平行.直线.文档.y=-x+m过点C,交y轴于D点.1求抛物线的函数表达式；2点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值；3在直线I上取点M,在抛物线上取点N,使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.【解答】解：1设抛物线的函数表达式为y=ax-1x+3抛物线交y轴于点E0,-3，将该点坐标代入上式，得a=1所求函数表达式为y=x-1x+3,即y=x2+2x3;2点C是点A关于点B的对称点，点A坐标-3,0，点B坐标
9、1,0，点C坐标5,0,将点C坐标代入y=-x+m,得m=5,直线CD的函数表达式为y=-x+5,设K点的坐标为t,0,那么H点的坐标为t,-t+5,G点的坐标为t,t2+2t-3,点K为线段AB上一动点,HG=t+5t2+2t-3=t23t+8=t+二2+二,24-3v-2v1,2.当t=-旦时，线段HG的长度有最大值SL；243点F是线段BC的中点，点B:1,0，点C5,0，点F的坐标为3，0，直线I过点F且与y轴平行，直线I的函数表达式为x=3，点M在直线I上，点N在抛物线上，设点M的坐标为3，m，点N的坐标为n，n2+2n-3，点A-3，0，点C5,0，AC=8，分情况讨论： 假设线段
10、AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，那么需当点N在点M的左侧时，MN=3-n， 3-n=8，解得n=-5，N点的坐标为-5,12，当点N在点M的右侧时，MN=n-3，n-3=8，解得n=11，N点的坐标为11，140，MN/AC,且MN=AC=8.点C与点A关于点B中心P,那么P点坐标为-1, 假设线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由对称知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点0过P点作NP丄x轴，交抛物线于点N,将x=-1代入y=x2+2x-3，得y=-4,过点N作直线NM交直线I于点M,在厶BPN和厶BFM中，/NBP=ZMBF,BF=BP,
11、/BPN=ZBFM=90BPNABFM,NB=MB,四边形ANCM为平行四边形，坐标-1,-4的点N符合条件，当N的坐标为-5,12，11,140，-1,-4时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为针对练习3：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.1求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;2点P是x轴上一个动点，过P作直线I/AC交抛物线于点Q,试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；假设不存在，请说明理由.使厶BDM的周长最小
12、，求出M点的坐标.解：1当y=0时，-x2+2x+3=0,解得xi=-1,X2=3.点A在点B的左侧，A、B的坐标分别为-1,0，3,0.当x=0时，y=3.C点的坐标为0,3设直线AC的解析式为y=kix+bikiM0,那么解得直线AC的解析式为y=3x+3./y=-x2+2x+3=x-12+4,顶点D的坐标为1,4.2抛物线上有三个这样的点Q,yc/XQ. 当点Q在Qi位置时，Qi的纵坐标为3,代入抛物线可得点Qi的坐标为2,3当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3,代入抛物线可得点Q2坐标为1+3 当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为-3,代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为1-综上
13、可得满足题意的点Q有三个，分别为：Qi:2,3，Q21+斥,-3，Q31WV,-33过点B作BB丄AC于点F,使BF=BF那么B为点B关于直线AC的对称点连接B交直线AC于点M,那么点M为所求，过点B作B_Ex轴于点E./1和/2都是/3的余角，/仁/2.RtAOCsRtAAFB,.丁V，由A-1,0B3,0C0,3得OA=1,OB=3,OC=3,AC=1,AB=4.由/仁/2可得RtAOCRtABEBB13V10即135”E_BE羽E3E12-bE=BE_-B养BE；，OE=BE-3-L,125B点的坐标为设直线B的解析式为y=k2x+b2k2丰0.联立B与AC的直线解析式可得:解得g35J32M点的坐标为方法二:1略.2略.3设B点关于直线AC的对称点为B显然BB被直线AC垂直平分，交点为F.由BB丄AC,：Kbb，XKac=1,vKac=3,：Kbb=寺，设BB
