《新教材2023_2024学年高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程课件新人教B版选择性必修第一册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材2023_2024学年高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程课件新人教B版选择性必修第一册（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课程标准课程标准1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程;2.掌握双曲线的标准方程及其求法;3.能用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题;4.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升目录索引成果验收课堂达标检测基础落实必备知识全过关知识知识点点1双曲线的定义焦点的距离|F1F2|名师点睛若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点P的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|PF1|与|PF2|的大小.(1)若|PF1|PF2|,则|PF1|-|PF2|0,点P的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|PF1|0,点P的轨迹是靠近定点F1的
2、那一支.过关自诊1.判断正误.(正确的画,错误的画)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.()(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()2.在双曲线的定义中,若去掉条件02a|F1F2|时,动点的轨迹不存在.当2a=0时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.知识知识点点2双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程=1=1焦点a,b,c的关系b2=c2-a2(a0,b0)(a0,b0)F1(-c,0
3、),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)名师点睛双曲线与椭圆的比较曲线名称椭圆双曲线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)|PF1|-|PF2|=2a(02ab0)=1(a0,b0)焦点在y轴上=1(ab0)=1(a0,b0)注意:在双曲线的标准方程中,a,b的大小关系不确定.过关自诊D2.北师大版教材例题改编已知双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6,则双曲线的标准方程为 .重难探究能力素养全提升探究点一求双曲线的标准方程探究点一求双曲线的标准方程【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程.规律方法规律方法求
4、双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,再用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,则可设其方程为mx2+ny2=1(mn0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,简化求解过程.变式训练1北师大版教材习题求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点为(2,0),(-2,0),且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2;(2)焦点在y轴上,焦距为10,且经过点(0,4);探究点二双曲线定义的应用探究点二双曲线定义的应用【例2】已知双曲线-y2=1的左、右焦点分别为F1
5、,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为.解析如图,由双曲线-y2=1,得a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4,则c=2,则F2(2,0).连接QF2交双曲线右支于P,则此时|PQ|+|PF2|最小等于|QF2|.Q的坐标为(-2,3),F2(2,0),【例3】已知F1,F2是双曲线=1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|=32,试求F1PF2的面积.(1)由双曲线的定义得|MF1|-|MF2|=2a=6.又双曲线上一点M到它的一个焦
6、点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于m,则|16-m|=6,解得m=10或m=22,故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100.在F1PF2中,由余弦定理得变式探究将例3(2)中的条件“|PF1|PF2|=32”改为“F1PF2=60”,求F1PF2的面积.由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=6.因为|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60,所以102=(|PF1|-
7、|PF2|)2+|PF1|PF2|,规律方法规律方法求双曲线中距离的范围和焦点三角形面积的策略(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据定义中的条件|PF1|-|PF2|=2a求解.(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件|PF1|-|PF2|=2a的应用;其次要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算.模仿椭圆中焦点三角形的面积公式,可类似得到双曲线中焦点三角形的面变式训练2(1)已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C的左支交于A,B两
8、点,若|AB|=7,则ABF2的周长为()A.16B.30C.38D.60B解析设|AF1|=m,|BF1|=n,由题意可得m+n=7,由双曲线的定义可得|AF2|=m+8,|BF2|=n+8,则ABF2的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|=m+n+(m+n)+16=16+2|AB|=16+27=30.故选B.(2)若点P在曲线C1:=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是()A.9B.10C.11D.12B解析在双曲线C1中,a=4,b=3,c=5,易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点,记点F1(-5,0
9、),F2(5,0),当|PQ|-|PR|取最大值时,P在双曲线C1的左支上,所以|PQ|-|PR|PF2|+1-(|PF1|-1)=|PF2|-|PF1|+2=2a+2=10.故选B.探究点三与双曲线有关的轨迹问题探究点三与双曲线有关的轨迹问题【例4】(1)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是()C解析动圆圆心为P,半径为r,已知圆N的半径为4.由题意知,|PM|=r,|PN|=r+4或r-4,所以|PN|-|PM|=4,即动点P到两定点的距离之差的绝对值为常数4,P在以M,N为焦点的双曲线上,且2a=4,2c=8,(2)某飞船返回
10、舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方向.解因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=40,所以点P的轨迹是双曲线的右支,因此x340.(2)人教A版教材习题设动点M与定点F(c,0)(c0)的距离和M到定直线成果验收课堂达标检测12345
11、1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为()A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线D解析当a=3时,根据双曲线的定义及|PF1|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,设P(x,y),则=10化简得y2=0,且x5,可知其轨迹与x轴部分重合.又因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴部分重合向x轴正方向延伸的射线.12345A|PF1|=3|PF2|,所以由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2|PF2
12、|=4,解得|PF2|=2,|PF1|=6,显然有|PF1|2+|PF2|2=40=|F1F2|2,即PF1F2是直角三角形,123453.已知方程=1表示双曲线,则实数m的取值范围是()A.(-1,+)B.(2,+)C.(-,-1)(2,+)D.(-1,2)D解得-1m0)的左、右两个焦点分别是F1与F2,焦距为8,M是双曲线上的一点,且|MF1|=5,则|MF2|的值为.9解析2c=8,c=4.又c2=a2+b2,b2=12,a2=4,当点M在双曲线左支上时,|MF1|2,由题意知|MF1|=5,这样的点存在.又|MF2|-|MF1|=2a=4,|MF2|=|MF1|+4=9.当点M在双曲
13、线右支上时,|MF1|6,由题意知|MF1|=5,这样的点不存在.|MF2|的值为9.123455.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;(3)a=b,经过点(3,-1).解(1)由双曲线的定义知,2a=8,所以a=4.又知焦点在x轴上,且c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9,所以双曲线的标准方程为1234512345(3)当焦点在x轴上时,可设双曲线方程为x2-y2=a2,将点(3,-1)的坐标代入,得32-(-1)2=a2,所以a2=8,因此,所求的双曲线的标准方程为=1.当焦点在y轴上时,可设双曲线方程为y2-x2=a2,将点(3,-1)的坐标代入,得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能,所以焦点不可能在y轴上.综上,所求双曲线的标准方程为=1.
