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1、第3节函数性质的综合应用 课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号函数单调性的应用1、2函数奇偶性的应用7、8函数奇偶性与单调性综合应用3、4、6、11函数奇偶性与周期性综合应用4、5、9、12、16函数性质的综合应用14、15与函数性质有关新定义问题10、13A组一、选择题1.(2013浙江嘉兴模拟)f(x)=x+在区间1,+)上递增,则a的取值范围为(D)(A)(0,+)(B)(-,0)(C)(0,1 (D)(-,1解析:当a0时,f(x)在区间1,+)上递增;当a0时,f(x)的增区间为,+),只要1,得a1.综上a的取值范围为(-,1,故选D.2.给定函数y=,y=lo(
2、x+1),y=|x-1|,y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是(B)(A)(B)(C)(D)解析:显然幂函数y=及指数型函数y=2x+1在(0,1)上单调递增,对于y=lo(x+1)可看作是y=lou,u=x+1的复合函数,由复合函数的单调性知y=lo(x+1)在(0,1)上递减,对函数y=|x-1|,其图象是偶函数y=|x|的图象向右平移一个单位得到,y=|x|在(-1,0)上递减,则y=|x-1|在(0,1)上递减.故选B.3.已知函数f(x)=则该函数是(C)(A)偶函数,且单调递增(B)偶函数,且单调递减(C)奇函数,且单调递增(D)奇函数,且单调递减解析:当x0
3、时,f(x)=1-2-x,这时-x0,所以f(-x)=2-x-1,于是f(-x)=-f(x);当x0,所以f(-x)=1-2x,于是也有f(-x)=-f(x).又f(0)=0,故函数f(x)是一个奇函数;又因为当x0时,f(x)=1-2-x单调递增,当x0时,f(x)=2x-1也单调递增,所以f(x)单调递增.故选C.4.已知周期为2的偶函数f(x)在区间0,1上是增函数,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是(B)(A)f(-6.5)f(0)f(-1)(B)f(0)f(-6.5)f(-1)(C)f(-1)f(-6.5)f(0)(D)f(-1)f(0)f(-6.5)解析:由条件得f
4、(-6.5)=f(6.5)=f(6+0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),又f(x)在区间0,1上是增函数,所以f(0)f(0.5)f(1),故f(0)f(-6.5)0恒成立,则不等式f(x+2)0可知f(x)在R上为单调递增函数,f(x-1)是由f(x)向右平移一个单位得到的,平移不改变f(x)在R上的单调递增的性质,又因为f(x-1)为奇函数,所以f(x-1)0的解集为(-,0),又因为f(x+2)可以由f(x-1)向左平移3个单位得到,所以f(x+2)0的解集为(-,-3).故选B.二、填空题7.(2013吉林二模)已知f(x)是R上的奇函数,且当x(-,0时,f(x)=-xlg
5、(3-x),则f(1)=.解析:f(1)=-f(-1)=-(-1)lg(3+1)=-lg 4.答案:-lg 48.已知f(x)=asin x+bx+c(a,b,cR),若f(0)=-2,f()=1,则f(-)=.解析:由题设f(0)=c=-2,f()=a+b-2=1,所以f(-)=-a-b-2=-5.答案:-59.已知f(x)是R上的奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=.解析:由f(x+4)=f(x),知f(x)是周期为4的周期函数,又f(x)为R上的奇函数,则f(7)=f(8-1)=f(-1)=-f(1)=-2.答案:-210.(2013揭阳
6、市一模)函数f(x)的定义域为D,若对任意的x1,x2D,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在D上为“非减函数”.设函数g(x)在0,1上为“非减函数”,且满足以下三个条件:(1)g(0)=0;(2)g()=g(x);(3)g(1-x)=1-g(x),则g(1)=,g()=.解析:在(3)中令x=0得g(1)=1-g(0)=1.在(2)中令x=1得g()=g(1)=,在(3)中令x=,得g()=1-g(),故g()=,因为,所以g()g()g().故g()=.答案:1三、解答题11.已知函数f(x)=(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求
7、实数a的取值范围.解:(1)当x0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,又f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=x2+2x,x0,m=2.(2)画出f(x)的大致图象如图所示. 要使函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,由图象可以看出,-1a-21,解得1a3,故实数a的取值范围是(1,3.B组12.(2013山东济南市质检)已知定义在R上的函数f(x),对任意xR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(2013)等于(A)(A)0(B)2013(C)3(D)-2013解析:函数y=f(x+1)的图象关于直线x
8、=-1对称,可知函数y=f(x)的图象关于y轴对称,故函数y=f(x)是偶函数.在等式f(x+6)=f(x)+f(3)中,令x=-3得f(3)=f(-3)+f(3),得f(-3)=f(3)=0,故f(x+6)=f(x),6是函数y=f(x)的一个周期,f(2013)=f(3)=0.故选A.13.(2013韶关调研)已知f1(x)=,f2(x)=x2,f3(x)=ex,f4(x)=lo x四个函数中,当0x1x2时,满足不等式f()的是(A)(A)f1(x)=(B)f2(x)=x2(C)f3(x)=ex(D)f4(x)=lo x解析:逐一判断,当0x1x2时,对函数f1(x)=,因为()2-()
9、2=-()20,所以f()=,所以选项B不满足;对函数f3(x)=ex,存在x1=1,x2=2,有=f()=,所以选项C不满足;对函数f4(x)=lo x,存在x1=2,x2=8,有=-2=lo 4f(5)=lo 5,所以选项D不满足,故选A.14.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+)=-f(x),且函数y=f(x-)为奇函数,给出以下四个命题:(1)函数f(x)是周期函数;(2)函数f(x)的图象关于点(-,0)对称;(3)函数f(x)为R上的偶函数;(4)函数f(x)为R上的单调函数.其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)解析:由f(x+)=-f(x)可得f(x)=f(
10、x+3)f(x)为周期函数,且T=3,(1)为真命题;又y=f(x-)关于(0,0)对称,y=f(x-)向左平移个单位得y=f(x)的图象,则y=f(x)的图象关于点(-,0)对称,(2)为真命题;又y=f(x-)为奇函数,所以f(x-)=-f(-x-),f(x-)=-f(-x-)=-f(-x),f(x-)=-f(-x),f(x)=f(x-3)=-f(x-)=f(-x);f(x)为偶函数,不可能为R上的单调函数,(3)为真命题;(4)为假命题,故真命题为(1)(2)(3).答案:(1)(2)(3)15.已知函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且满足条件:f(xy)=f(x)+f(y),
11、f(2)=1;当x1时,f(x)0.(1)求证:函数f(x)为偶函数;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)求不等式f(x)+f(x-3)2的解集.(1)证明:由f(2)=f(12)=f(1)+f(2)得f(1)=0.由f(1)=f(-1(-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,得f(-1)=0,f(-x)=f(-1x)=f(-1)+f(x)=f(x),f(x)为偶函数.(2)解:任取x1、x2(0,+)且x11,由x1时,f(x)0,得f()0,f(x2)=f(x1)=f(x1)+f(),f(x2)f(x1)f(x)在(0,+)上是增函数.f(x)是偶函数,f(x)在(-,0)上是
12、减函数,在(0,+)上是增函数.(3)解:由f(xy)=f(x)+f(y)得f(x)+f(x-3)=f(x(x-3),又f(4)=f(22)=f(2)+f(2)=2,原不等式转化为f(x(x-3)f(4),f(x)是偶函数,|x(x-3)|4.解得-1x4且x0,不等式f(x)+f(x-3)2的解集为-1,0)(0,4.16.设f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x.(1)求f()的值;(2)当-4x4时,求f(x)的图象与x轴所围图形的面积.解:(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,从而得f()=f(-14+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x), 得f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),即f(1+x)=f(1-x).故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又0x1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4x4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4SOAB=4=4.
