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1、第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算；N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将
2、二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识 一、行列式 1行列式的定义 用n八2个元素aj组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2行列式的计算一阶|a|二a行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子 式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为 0， 利用定理展开降阶。特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积
3、；（2）行列式值为 0 的几种情况：I行列式某行（列）元素全为0;II行列式某行（列）的对应元素相同；III行列式某行（列）的元素对应成比例；IV奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称 矩阵等）;2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果;（2）关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律（若AB = BA，称A、B是可交换矩阵）； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若A、B为同阶方阵，则|AB| = |A|*|B|； |kA|二k八n|A|3矩阵的秩(1) 定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；(2) 秩的求法一般不用
4、定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第 一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵(1) 定义：A、B为n阶方阵，若AB = BA=I,称A可逆，B是A的逆矩阵(满 足半边也成立)；(2) 性质：(AB厂-仁(B=1)*(A=1), (A厂-仁(A=1)； (A B 的逆矩阵，你懂的)(注意顺序)(3) 可逆的条件： |A|工0；r(A)= n;A-I;(4) 逆的求解伴随矩阵法A1 = (1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵) 初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(l
5、:A=1)5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则 X二(A-1) B；XB=A，则 X=B(A-1)；AXB=C，则 X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)工r(A)无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3) r(A,b)=r(A)n有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n只有零解；(2) r(A)n有非零解；再特别，若为方阵，(1) |A|工0只有零解(2) |A|=0有非零解2齐次线性方程组(1) 解的情况：r(A)= n，(或系数行列式D0)只有零解；r(A)=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式
6、的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子 式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为 0， 利用定理展开降阶。特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为 0 的几种情况：I行列式某行（列）元素全为0;II行列式某行（列）的对应元素相同；III行列式某行（列）的元素对应成比例；IV奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称 矩阵等）;2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果;（2）关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律（若AB = BA
7、，称A、B是可交换矩阵）； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若A、B为同阶方阵，则|AB| = |A|*|B|； |kA|二k八n|A|3矩阵的秩（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第 一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵(1) 定义：A、B为n阶方阵，若AB = BA=I,称A可逆，B是A的逆矩阵(满 足半边也成立)；(2) 性质：(AB厂-仁(B=1)*(A=1), (A厂-仁(A=1)； (A B 的逆矩阵， 你懂的)(注意顺序)(3) 可逆的条件： |A|工0；r(A)= n;A-I;(4) 逆的求解伴随矩阵法A1 = (1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵)初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(l:A=1)5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则 X二(A-1) B；XB=A，则 X=B(A-1)；
