《高三数学一轮复习必备曲线方程及圆锥曲线的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习必备曲线方程及圆锥曲线的综合问题（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第35讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载】一 .【课标要求】1 .由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2 .通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3 .了解圆锥曲线的简单应用.二 .【命题走向】近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主口1 .求曲线（或轨迹）的方程，对于这类
2、问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2 .与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。预测2010年高考：1 .出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2 .可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问三.【要点精讲】1 .曲线方程（1）求曲线（图形）方程的方法及其具体步骤如下:步骤含义说明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表
3、示曲线上任意一点M的坐标。(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限):由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)这是求曲线方程的重要应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步
4、骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”(2)求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2 .圆锥曲线综合问题(1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关
5、长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线C：f(x,y)=0与直线l：y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长，|AB=|AF+|BF.在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围-
6、(2)对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。(3)实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是:(4)知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题四.【典例解析】题型1:
7、求轨迹方程例1.(1)一动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。2(2)双曲线上y21有动点P,冗下2是曲线的两个焦点，求PF1F2的9重心M的轨迹方程。解析：(1)(法一)设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为01、。2,将圆方程分别配方得：(x3)2整理得人L36 272所以，动圆圆心的轨迹方程是-36(法二)由解法一可得方程 J(x 3)2 y2 J(x 3)2 y2 12,由以上方程知，动圆圆心M(x,y)到点01( 3,0)和02(3,0)的距离和是常数12,所以点M的轨迹是焦点为0式3,0)、0
8、2(3,0),长轴长等于12的椭圆，并 且椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，2c 6, 2a 12,c 3, a 6 , b2 36 9 27 ,y24,(x3)2y2100,当eM与eO1相切时，有101M|R2当eM与e02相切时，有102M|10R将两式的两边分别相加，得101M|102M|12,即J(x3)2y2J(x3)2y212移项再两边分别平方得：2.031y212x两边再平方得：3x24y21080,2271，轨迹是椭圆。22圆心轨迹方程为-X13627(2)如图，设P,M点坐标各为P(x1,y1),M(x,y),在已知双曲线方程中a3,b1,c991V10已知双曲线两焦点
9、为F1(PF1F2存在，y10而,0),F2(50,0),由三角形重心坐标公式有Xi(.而)、103V003x13xYi3y,Yi0,y0o已知点P在双曲线上，等(3y)21(y0)即所求重心M的轨迹方程为:将上面结果代入已知曲线方程，有2_2x9y1(y0)。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法U例2.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为三，两个焦点分别为三Ck： x2和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆y22kx4y210(kR)的圆心为点A.(1)求椭圆G的方程(2)求AkFiF2的面积
10、(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.解(1)设椭圆G的方程为:2 x2 a2L 1 b2(a b 0)半焦距为c；2a则c ca12立,解得2633b2 a2 c2 36 27 9所求椭圆G的方程为:2 x36(2)点人的坐标为K,2(3)若 k 0,由 6* 2 02 120 21若 k 0,由(6)2 02 120 21不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆题型2:圆锥曲线中最值和范围问题15 120可知点(6, 0)在圆Ck外，15 120可知点(-6 , 0)在圆Ck外;G例3. ( 1) ( 2009辽宁卷理)以知F是双曲线21y21的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点
11、则 PF PA 的最小值整理得记得ac_包蛆)由椭圆的几何性质知a则ae_ne(ca)e(e1)e(e1)e2 2e 10,解得e/2Me夜1,又e(0,1),故椭圆的离心率e(721,1)【解析2】由解析1知PF1 -PF2由椭圆的定义知“aPF1 PF22a则 cPF2aPF2 2a 即 PF2江，由椭圆的几何 c a,2a2PF2 a c,贝 1 -一 c ac,既c2 2c a20,所以e2 2e 1 0,以下同解析1.【答案】2 1,1(3) (2009四川卷理)已知直线l1：4x 3y 6 0和直线Lxy2 4x上一动点P到直线11和直线12的距离之和的最小值是(A.2B.3C.1
12、15D.3716【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。【解析1】直线l2 ：x 1为抛物线y2 4x的准线，由抛物线的定义知,P到12的4x上找一个距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2点P使得P到点F(1,0)和直线12的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线I1 :4x 3y 6 0 的距离，即 dmin|4 0 6|52,选择Ao【解析2】如图，由题意可知d|3_1_0_6|.,32 42故【答案】A点评：由 PAF成立的条件11PAi|PF|AF|,再延伸到特殊情形P、AF共线，从而得出11PAi|PF|AF|这一关键结论口例4.(1
13、)(2009江苏卷)(本题满分10分)在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2),其焦点F在x轴上。(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点M(m,0)(m0)的直线交抛物线C于DKE两点，M=2DM记D和E两点间的距离为f(m),求f(m)关于m的表达式。(2)(2009山东卷文)(本小题满分14分),一一一一一，r,rrr,设mR,在平面直角坐标系中，已知向量a(mx,y1),向量b(x,y1),ab,动点M(x,y)的轨迹为E(D求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；(2)已知m1，证明：存在圆心在原点的圆，使
14、得该圆的任意一条切线与轨迹E4恒有两个交点AB,且OAOB(O为坐标原点)，并求出该圆的方程；已知m1，设直线l与圆C:x2y2R2(1R2)相切于A,且l与轨迹E只有一4个公共点B,当R为何值时，|AB|取得最大值？并求最大值.rrrr解(1)因为ab,a(mx,y1),b(x,y1),rr所以abmxy10,即mxy1当m=0时，方程表示两直线，方程为y1；当m1时，方程表示的是圆当m0且m1时，方程表示的是椭圆；当m0时，方程表示的是双曲线.(2).当m1时，轨迹E的方程为置y21,设圆心在原点的圆的一条切线为4 4ykxt,解方程组y2x7kxt2得x2y14(kxt)24,即(14k2)x28ktx4t240,0,即 4k2 t2 1 0,即 t2 4k2 1,Xx2且xx28 kt1 4k24t2 41 4k2y1y2 (kx1 t)(kx2 t) k2x1x2 kt(x1 x2) t2k
