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1、中学数学3003字浅谈初中数学综合题解题能力的培养连城县文新中学罗培兵摘要：一道综合题所涉及知识点多，解题过程复杂，既考察学生对基础知识、基本技能的理解与掌握，又考察学生分析问题、解决问题的能力，其核心是考察学生对数学思想、方法的领悟与运用。本文从双基能力培养以及思维方法的领悟浅谈在教学实践过程中如何提高和培养学生对综合题的解题能力。关键词：双基能力数学思想俗话说“万丈高楼平地起”，要做好综合题，如果没有打好扎实的基础，而一味地去研究综合问题，那就本末倒置，不会有满意的效果的。综合题虽“高于教材”，但源于教材题目的引伸、变形或组合，日常教学以课本为主，深钻教材，对所涉及的概念、公式、公理、定理
2、等基础知识进行归纳整理，使之形成自己的知识网络，做到理清知识结构，形成整体知识，并能综合运用。如在几何综合题中常见形如“点P在线段AB上”、“点P在射线AB上”、“点P在直线AB上”的描述，这对图形的变化情况有着很大的区别，不注意往往会造成漏解的情况发生；又如在平面直角坐标系中，对于形如“直线”、“直线”、或“直线”的条件，要挖掘这其中的隐含条件，即这些直线与轴所夹的锐角分别为30、45、60等等。综合题所涉及的知识面较宽，解题过程较复杂，解题方法较灵活，因此有一定的难度。那么如何探究一道综合题？下面结合一道中考压轴题进行说明。（2014龙岩）如图，在ABC中，AB=AC=10，BC=12，D
3、，E分别是边BC，AB的中点，P是BC边上的动点（不与B，C重合）设BP=x（）当x=6时，求PE的长；（）当BPE是等腰三角形时，求x的值；（）当AD平分EP时，试判断以EP为直径的圆与直线AC的位置关系，并说明理由【考点分析】直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形；勾股定理；直线和圆有位置关系。思考一：审题思考，把握好“三性”审题是解题的开始，也是解题的关键。审题过程中，要把握好“三性”：（）目的性：明确解题结果的每一步骤分项目标和终极目标；（）准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性；（）隐含性：注意题设条件的隐含性。学生审题能力的高低会直接影响解答的结果。因此，在教学过程中重
4、视培养学生的正确审题习惯，注意分析学生产生审题障碍的原因，寻找对策，培养学生审题能力。【思路分析】问题（1）：如图，根据直角三角形斜边上的中线性质得PE=AB=5；问题（2）：易得BE=5，分类讨论：当BP=BE=5，易得x=5；当EP=EB，作EMBD于M，如图1，根据等腰三角形的性质得BM=PM，由点E为AB的中点，EMAD得到M点为BD的中点，则PB=BD=6，即x=6；当PB=PE，如图2，作PNBE于N，根据等腰三角形的性质得BN=EN=BE=，再证明RtBPNRtBAP，由相似可计算出PB=，即x=；问题（3）：EP交AD于O，作OHAC于H，EFAD于F，如图3，在RtABC中，
5、利用勾股定理计算出AD=8，由点E为AB的中点，EFBD得到EF为ABD的中位线，则EF=BD=3，AF=DF=AD=4，再利用“AAS”证明OEFOPD，则OF=OD=DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在RtOEF中，根据勾股定理计算出OE=，证明RtAOHRtACD，利用相似比计算出OH=，再比较OE与OH的大小，然后根据直线与圆的位置关系进行判断思考二：分析思考，要学会“三转”（）语言转换能力：每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成，解题时要能将这三种语言相互转化；（）概念转换能力：综合题常常需要将一个数学概念转换为具体的表示方法或与之相关的其它问题，如在
6、“试判断以EP为直径的圆与直线AC的位置关系”此题中，将问题转化为“比较（半径）与圆心到直线的距离”；（）数形转换能力：解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路，运用数形转换策略要注意特殊性，否则解题会出现漏洞。【思想方法】数形结合，分类讨论，转化思想，方程思想思考三：方法思考，重视其“通法”“通法”就是每一类问题的共性解法，进一步就是去感悟数学的思想方法。在初中阶段，我们要增强对四个基本数学思想的理解：数形结合思想、方程思想、分类思想、转化思想。形象的比喻：“转化是我们的大脑，分类是我们的眼睛，数形是我们的双手，方程是我们
7、的脚！”“数形”相辅：我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。“方程”为路：方程思想探究数学问题的一个基本工具，贯穿在数学思考的整个过程中，主要应用在求未知量、建立函数关系等问题。构建方程的关键是找出包含未知量的等量关系，在初中主要利用勾股定理、平行线截得比例线段（或三角形相似）、几何图
8、形的基本性质（如周长公式、面积公式、垂直平分线的性质等）等方法（如下图）。 “分类”在心：对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究，常常出现在动态问题，为此，我们需要化动为静，分类画图，构建方程，个个击破。（）情况不确定，如“等腰三角形”、“直角三角形”等；（）运动变化的问题，观察动点运动的路线是否有变化或图形的形状是否改变等；（）某些图形构成的语言，如“以A、B、C为顶点的三角形与某三角形相似”、“以A、B、C、D为顶点的菱形”等。“转化”致胜：数学是一门增强逻辑思维的学科，对数学问题中的每一个条件与结论，逐个进行推导转化，逐渐由已知向未知、复杂向简单进行演化。思考数学问题时，要将已知条件进
9、行正向转化，找到条件中隐藏的真实面目，即“还原真实面目”；有时候要将结论进行逆向转化，追根寻源，找到解决问题所需的条件在哪里？需要什么条件？有时，还可以正向与逆向同步推进，寻找两者的结合。【试一试】如图，等边边长为4，是边上动点，于H，过作，交线段于点，在线段上取点，使.设.（）请直接写出图中与线段相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（）是线段上的动点，当四边形是平行四边形时，求平行四边形的面积（用含的代数式表示）；（）当（）中 的平行四边形面积最大值时，以E为圆心，为半径作圆，根据E与此时平行四边形四条边交点的总个数，求相应的的取值范围.点评：对于此类问题，顺其自然，逐步做答，从特殊中思考一般的规律。一般情况下，综合题会设计一连串的问题，层层递进，在问题的解答过程中考察思维活动过程，体现 “低起点、坡度缓、步步高”的分层考查的特点。综合题不仅是知识上的综合，更是数学思想方法的综合运用。解决综合题时，要从转化、分类、数形结合、方程思想等思想方法上寻求问题的突破口，抓住由易到难的特点，整体上洞察、探究每个问题的链接点。“精做一道题胜过粗做十道题”，可以尝试自己改变条件，变换结论，这样可以让大家把知识进行融合，以达到“举一反三”的效果。- 1 -
