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1、第六章 二次型第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩阵表示方法.教学重点与难点：二次型的矩阵表示教学计划时数：2课时教 学 过 程：一、二次型的概念定义1：含有个变量的二次齐次函数 （1）称为二次型.附：1、当为复数时,称为复二次型；当为实数时,称为实二次型； 2、可以等于0，即（1）式中的各项都存在.例1 ；都为实二次型；二、二次线性与对称矩阵在（1）式中,取,则令，则（1）式可化为称为二次型的矩阵形式，记为，其中实对称矩阵称为该二次型的矩阵.二次型称为实对称矩阵的二次型.实对称矩阵的秩称为二次型的秩，即.例2 二次型对应的实
2、对称矩阵为反之,实对称矩阵所对应的二次型是三、合同矩阵定义2：关系式 称为由变量到变量的线性变换，并简记为.其中系数矩阵 称为线性变换矩阵.如果可逆，则称该线性变换为可逆线性变换.说明：对于一般二次型，问题：求可逆线性变换，将二次型化为标准形.将代入，得其中，是关于的二次型，对应的矩阵为.关于与的关系，我们给出下列定义.定义3：设,为两个阶矩阵,如果存在阶可逆矩阵,使得则称矩阵合同于矩阵,或称与合同.矩阵的合同的性质:1、反身性 对任意方阵,与合同.2、对称性 若与合同，则与合同.3、传递性 若与合同,且与合同则与合同.4、若为对称阵,则也为对称阵,且，即合同的两个矩阵的秩不变.四、标准形的定
3、义定义4：只含有平方项的二次型：称为二次型的标准形(或法式).说明：二次型在可逆线性变换下,可化为.如果为对角矩阵则就可化为标准形： 且其标准形中的系数恰好为对角矩阵的主对角线上的元素, 因此上面的问题归结为能否合同于一个对角矩阵的问题.五、化二次型为标准形的方法我们要研究用可逆线性变换把二次型化为标准形的方法.1.用配方法化二次型为标准形定理1：任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.拉格朗日配方法的步骤是:(1)若二次型含有的平方项,则先把含有的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到标准形；(2)若二次型中不含有平方项,
4、但是,则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型,然后再按(1)中方法配方.定理2：对任一实对称矩阵,存在可逆矩阵,使为对角矩阵.即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.例3 化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵.解 令 即或 ，则化为标准形：，所用变换矩阵为.例4 化二次型为标准形, 并求所用的变换矩阵.解 由于所给二次型中不含平方项,所以令 代入中，可得令 即 或 ，则化为标准形：，且变换矩阵为，第二讲 标准形的正交变换法、规范形的转化教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的标准形与规范形的转化以及惯性定理.教学重点与难点：二次型的标准形与规范形的转化教学计划时数：2课时
5、教 学 过 程：上次课我们介绍了化二次型为标准形的方法之一（配方法），今天继续介绍化二次型为标准形的方法。一、化二次型为标准形的方法2.用初等变换化二次型为标准型（略）3.用正交变换化二次型为标准形定理3：任给二次型总有正交变换（为正交矩阵），使化为标准形： 其中是的矩阵的特征值.用正交变换化二次型为标准形的步骤：(1)将二次型表成矩阵形式，求出；(2)求出A的所有特征值；(3)求出属于各特征值的线性无关的特征向量 ；(4)将特征向量正交化、单位化,得； (5)记，作正交变换,则得的标准形例1： 将二次型通过正交变换，化为标准形.解（1）写出对应的二次型矩阵：.（2）求的特征值：由得的特征值：
6、.（3）求对应的特征向量：对于，解方程,由，得基础解系.对于，解方程,由，得基础解系.（4）将特征向量正交化：取得正交向量组：.将其单位化得： ，.（5）作正交矩阵：令，则，且在此变换下，原二次型化为标准形：.二、惯性定理在化二次型为标准形的过程中,可逆线性变换不唯一，对应的标准形也不唯一，但标准形中非零系数个数是相等的，都等于二次型的秩.如果限定可逆线性变换为实变换，则二次型的标准形的正系数个数是不变的，从而负系数个数也是不变的，这就是下述的惯性定理.定理4（惯性定理）：设二次型且,有两个可逆线性变换及 分别化二次型为标准形： ，及 ，则中正数的个数与中正数的个数相等. 定义1：二次型的标准
7、形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数,负系数的个数称为二次型的负惯性指数,正惯性指数与负惯性指数的差称为二次型的符号差.显然，二次型的标准形中，非零系数的个数就是二次型的秩.如：,则的正惯性指数等于2,负惯性指数等于1,符号差等于1，.三、化二次型为规范形的方法定义2：将二次型的标准形如下形式给出：，其中通过如下的可逆线性变换则可将二次型化为 （1）称（1）式为二次型的规范形.定理5: 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形，且规范形是由二次型本身决定的唯一形式，与所作的可逆线性变换无关.说明：1、规范形是唯一的；2、规范形中的正项个数就是的正惯性指数,负项个数是的负惯性指数,它们的差是这
8、个二次型的符号差，是的秩；3、的正惯性指数、负惯性指数是被本身唯一确定的.例2：化二次型为规范形，并求其正惯性指数。解 二次型可化为如下标准形：，令 ， 即 则可化为规范形：且正惯性指数等于2.例3：化二次型：为规范形，并求其正惯性指数.解 先化标准形得：令 ，即，其中，.于是，经过可逆线性变换，二次型化为规范形：，且的正惯性指数是2.第三讲 正定二次型教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解正定二次型的概念，并掌握正定二次型的判别法.教学重点与难点：正定二次型的判别法教学计划时数：2课时教 学 过 程：一、概念定义1：设（其中）是实二次型，(1)如果对任何非零向量,都有 （或）成立，则称为
9、正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.(2)如果对任何非零向量,都有 （或）成立,且有非零向量,使,则称为半正定（半负定）二次型,矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.(3)如果既不是半正定又不是半负定，则称为不定二次型.例1：二次型当时,显然有所以该二次型是正定的,其中矩阵是正定矩阵.例2：二次型，则当时,即是半负定,其对应的矩阵是半负定矩阵.二、正定二次型的判别法定理1：元实二次型为正定二次型的正惯性指数等于.说明：1、二次型的正定性与其矩阵的正定性之间具有一一对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.2、实二次型为正定二次型的充分必要条件是它对应的实对称矩阵
10、与对角矩阵合同，而且该对应矩阵的主对角线上的元素全为正数.推论1：阶实对称矩阵为正定矩阵矩阵的所有特征值全为正数.定理2：实对称矩阵为正定矩阵存在可逆矩阵,使，即与单位矩阵合同.推论2：若实对称矩阵为正定矩阵，则.下面介绍一种判别正定二次型的方法，用这种方法常能较方便地判别二次型的正定性.定义2：阶矩阵的个行标和列标相同的子式称为的一个阶主子式.而子式称为的阶顺序主子式.定理3（霍尔维茨定理）：阶矩阵为正定矩阵的所有顺序主子式全大于零，即.说明：1、若二次型为正定的，则为负定的；反之，若为负定的，则为正定的.所以，从判别正定二次型的充分必要条件，可得判别负定二次型的以下四个等价命题：(1)元实
11、二次型为负定的；(2)二次型的负惯性指数等于；(3)二次型的矩阵的所有特征值全为负数；(4)二次型的矩阵的奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即其中是的阶顺序主子式.2、对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个命题是等价的:(1)实对称矩阵是半正定（半负定）的；(2)的所有主子式大于（小于）或等于零；(3)的全部特征值大于（小于）或等于零.例3：判别二次型的正定性.解 的矩阵为，而，即奇数阶顺序主子式都小于0，而偶数阶顺序主子式都大于0，故为负定二次型.例4：当取何值时，二次型为正定.解 的矩阵为，因为正定二次型，故的所有顺序主子式全大于零，即，解得，即为所求.最后给出二次型的规范形与其正定性之间的关系定理：定理4：设为元实二次且,且其规范形为，则(1)负定且.(即负定二次型的规范形为).(2)半正定(即半正定二次型的规范形为)(3)半负定.(即).(4)不定.(即).1
