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1、精选优质文档-倾情为你奉上圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨
2、迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内;2、点在圆上 点在圆上;3、点在圆外 点在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点;2、直线与圆相切 有一个交点;3、直线与圆相交 有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离(图1) 无交点 ;外切(图2) 有一个交点 ;相交(图3) 有两个交点 ;内切(图4) 有一个交点 ;内含(图5) 无交点 ; 五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
3、 (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在中, 弧弧例题1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是( )A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中,正确的是()A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线
4、垂直平分弦,且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度AB是_cm.2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,如果油面宽度是48cm,那么油的最大深度为_cm.3、如图,已知在中,弦,且,垂足为,于,于.(1)求证:四边形是正方形.(2)若,求圆心到弦和的距离.4、已知:ABC内接于O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长5、如图,F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任意一点,A是的中点,ADBC于D,求证:AD=BF.例题3、度数问题1、已知:在
5、中,弦,点到的距离等于的一半,求:的度数和圆的半径. 2、已知:O的半径,弦AB、AC的长分别是、.求的度数。例题4、相交问题如图,已知O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,BED=30,求CD的长.ABDCEO例题5、平行问题在直径为50cm的O中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且ABCD,求:AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB,交小圆于C、D两点,设大圆和小圆的半径分别为.求证:.例题7、平行与相似已知:如图,是的直径,是弦,于.求证:.六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距
6、相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即:; 弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:和是弧所对的圆心角和圆周角 2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在中,、都是所对的圆周角 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在中,是直径 或 是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在中, 是直角三角形或注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角
7、三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图形3-3-19所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形? 【例2】如图,已知O中,AB为直径,AB=10cm,弦AC=6cm,ACB的平分线交O于D,求BC、AD和BD的长【例3】如图所示,已知AB为O的直径,AC为弦,ODBC,交AC于D,BC=4cm(1)求证:ACOD; (2)求OD的长; (3)若2sinA1=0,求O的直径【例4】四边形ABCD中,ABDC,BC=b,AB=AC=AD=a,如图,求BD的长【例5】如图1,AB是半O的直径,过A、B两点作半O的弦,当两弦交点恰好落在半O
8、上C点时,则有ACACBCBC=AB2(1)如图2,若两弦交于点P在半O内,则APACBPBD=AB2是否成立?请说明理由(2)如图3,若两弦AC、BD的延长线交于P点,则AB2=参照(1)填写相应结论,并证明你填写结论的正确性八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在中, 四边形是内接四边形 例1、如图7-107,O中,两弦ABCD,M是AB的中点,过M点作弦DE求证:E,M,O,C四点共圆九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:且过半径外端 是的切线
9、(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即:、是的两条切线 平分利用切线性质计算线段的长度例1:如图,已知:AB是O的直径,P为延长线上的一点,PC切O于C,CDAB于D,又PC=4,O的半径为3求:OD的长利用切线性质计算角的度数例2:如图,已知:AB是O的直径,CD切O于C,AECD于E
10、,BC的延长线与AE的延长线交于F,且AF=BF求:A的度数利用切线性质证明角相等例3:如图,已知:AB为O的直径,过A作弦AC、AD,并延长与过B的切线交于M、N求证:MCN=MDN利用切线性质证线段相等例4:如图,已知:AB是O直径,COAB,CD切O于D,AD交CO于E求证:CD=CE利用切线性质证两直线垂直例5:如图,已知:ABC中,AB=AC,以AB为直径作O,交BC于D,DE切O于D,交AC于E求证:DEAC十一、圆幂定理(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在中,弦、相交于点, (2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比
11、例中项。即:在中,直径, (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在中,是切线,是割线 (4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。即:在中,、是割线 例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:AE的值。例2.O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE6cm,BE2cm,CD7cm,那么CE_cm。图2例3.如图3,P是O外一点,PC切O于点C,PAB是O的割线,交O于A、B两点,如果PA:PB1:4,PC
12、12cm,O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是_cm。图3例4.如图4,AB为O的直径,过B点作O的切线BC,OC交O于点E,AE的延长线交BC于点D,(1)求证:;(2)若ABBC2厘米,求CE、CD的长。图4例5.如图5,PA、PC切O于A、C,PDB为割线。求证:ADBCCDAB图5例6.如图6,在直角三角形ABC中,A90,以AB边为直径作O,交斜边BC于点D,过D点作O的切线交AC于E。图6 求证:BC2OE。十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:垂直平分。即:、相交于、两点 垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长:中,;(2)外公切线长:是半径之差; 内公切线长:是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形 在中是正三角形,有关计算在中进行:;(2)正四边形同理,四边形的有关计算在中进行,:(3)正六边形同理,六边形的有关计算在中进行,.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:;(2)扇形面积公式: :圆心角