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1、江西省八所重点中学2014届高三联考数学（理）试卷总分：150分 考试时间：120分钟一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1若集合，集合，则集合的元素的个数为 （ ）A . 1 B . 2 C . 3 D . 42设为虚数单位，则=（ ）A. B. C. D.3一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（ ）11DA111CA11BA111A1 4已知，若，三向量共面，则实数等于（ ）A. B. C. D.5已知数列是等比数列，且，则的值为（ ）A . B . C . D . 6从编号为001
2、,002,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为（ ）A. 480 B. 481 C. 482 D. 4837下图是一个算法的流程图，最后输出的( )x=x-3是开始S=0x=2输出x结束S=S+x否ABCD8二项式展开式中的第三项与第五项的系数之比为，其中为虚数单位，则展开式的常数项为（ ） A . B . C . D .9已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的离心率，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则线段的长度为（ ）A B. C DADA1CDCBADA112p10右图是
3、某果园的平面图，实线部分游客观赏道路，其中曲线部分是以为直径的半圆上的一段弧，点为圆心，是以为斜边的等腰直角三角形，其中千米，(),若游客在路线上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映与的函数关系的是（ ）二、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分.11（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于两点,则=（ ）A.
4、B. C. D.11（2）（不等式选做题）若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A . B . C . D . 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分.12设随机变量服从正态分布，若,则_.13设实数满足不等式组,则的取值范围是_. 14已知，若，则_.2007032115已知一正整数的数阵如下图所示(从上至下第1行是1，第2行是3、2，.)，则数字2014是从上至下第_行中的从左至右第_个数四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）已知向量,. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的值域.17（本小题满分
5、12分）已知A箱装有编号为的五个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同），B箱装有编号为的两个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同）,甲从A箱中任取一个小球，乙从B箱中任取一个小球，用分别表示甲，乙两人取得的小球上的数字.（1）求概率； （2）设随机变量，求的分布列及数学期望.18（本小题满分12分）已知数列中，当时，. (1) 求数列的通项公式. (2) 设,数列前项的和为,求证:.图1图219（本小题满分12分）如图1，直角梯形中，分别为边和上的点，且，将四边形沿折起成如图2的位置，使（1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐角的余弦值.20（本小题满分13分）如图，线段为半圆所在圆的
6、直径，为半圆圆心，且，为线段的中点，已知，曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变 (1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线相交于不同的两点，且在之间，设，求的取值范围 21（本小题满分14分） 已知函数 (1) 若,求在点处的切线方程. （2） 令，求证：在区间上，存在唯一极值点. (3) 令,定义数列:.当且时,求证:对于任意的,恒有.江西省八所重点中学2014届高三联考数学（理科）试卷参考解答一 、选择题：110 ACBDA CCCBA二、选做题：11.（1）D（2）D 三、填空题： 12. 13. 14. 或20070321 15. 63；61四、解答题16
7、.解：（1） 4分 函数的最小正周期. 6分 （2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，取最大值 1 9分又 ，当时，取最小值 所以函数在区间上的值域为. 12分17解：（1） 5分（2）2345P 12分18. 解: (1) 当时， 数列是以为首项,公比为的等比数列 3分 6分 (2) 9分 = 12分19. 解：（1）取DE中点G，连接FG,AG，CG. CFDG,所以FGCD. CGAB, ,所以AGBC.所以 平面AFG平面CBD 所以 AF平面CBD 5分（2）如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以的中点坐标为因为，所以 易知是平面的一个法向量，设
8、平面的一个法向量为 由令则，所以面与面所成角的余弦值为. 12分20.解 (1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4 曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1 曲线C的方程为+y2=1 4分(2) 当直线l的斜率不存在时，显然= (此时直线l与y轴重合) 6分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2,代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0 =(20k)2415(1+5k2)0,得k2 由图可知=由韦达定理得 8分将x1=x2代入得两式相除得M在D、N中间，1 综上：. 13分21.解：(1) ,所以所求切线方程为: 3分（2），即证方程在上有唯一解. 令,在上为减函数,且,所以原命题得证. 8分 (3) , , 又 14分
