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1、1. 已知椭圆（ ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则. 证法一:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则线段AB的垂直平分线方程为 y=(x).令y=0,得x=x0=+=. (*)又=1, =1, 得=,代入(*)得x0=.由ax1a,ax2a,x1x2,知aa.又0,即x0.证法二:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1x2.又交点为P(x0,0),故|PA|=|PB|,即(x1x0)2+y12=(x2x0)2+y22. A、B在椭圆上,=1, =1,代入得2(x2x1)x0=(x
2、22x12),即x0= (下同证法一).2. 已知椭圆（ ab0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 证明一：依题设，得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F(1，0)，右准线方程为x=2，点E的坐标为(2,0)，EF的中点为N(，0).若AB垂直于x轴，则A(1，y1)，B(1，y1)，C(2，y1)，所以AC中点为N(，0)，即AC过EF中点N.若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BCx轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为y=k(x1)，k0.记A(x1，y1)和B(x2，y2)，则C(2，y2)且x1，x
3、2满足二次方程k2(x1)2=1,即 (1+2k2)x24k2x+2(k21)=0,所以 x1+ x2=, x1x2=.又x12=22y122，得x10，故直线AN，CN的斜率分别为k1=,k2=2k(x21).所以k1k22k因为(x11)(x21)(2x13) 3(x1+x2)2x1x24 12k24(k21)4(12k2) 0，所以k1k2=0，即k1k2，故A、C、N三点共线.所以，直线AC经过线段EF的中点N.证明二：如图，记直线AC与x轴的交点为N，过A作ADl，D是垂足.因为F是椭圆的右焦点，l是右准线，BCx轴，即BCl，根据椭圆几何性质，得：e(e是椭圆的离心率)，因为ADFEBC，所以，即得|EN|= e=|FN|，所以N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N.
