《新教材2023_2024学年高中数学第3章圆锥曲线与方程3.2双曲线3.2.1双曲线的标准方程课件湘教版选择性必修第一册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材2023_2024学年高中数学第3章圆锥曲线与方程3.2双曲线3.2.1双曲线的标准方程课件湘教版选择性必修第一册（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课标要求课标要求1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程;2.掌握双曲线的标准方程及其求法;3.能用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升目录索引学以致用随堂检测全达标基础落实必备知识全过关知识知识点点1双曲线的定义平面上到两个定点F1,F2的距离之的绝对值为正常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的,两个焦点之间的距离叫作双曲线的.名师点睛双曲线的定义用集合语言叙述为:P|PF1|-|PF2|=2a,02a|F1F2|,|PF1|-|PF2|=2a(02a0,b0)(a0,b0)焦点坐标,(0,-c),(0,c)
2、a,b,c的关系(-c,0)(c,0)c2-a2=b2名师点睛方程=1既可以表示椭圆又可以表示双曲线.当方程表示椭圆时,m,n应满足mn0或nm0.当方程表示双曲线时,m,n应满足mn0,n0时,方程表示焦点在x轴上的双曲线;当m0时,方程表示焦点在y轴上的双曲线.若不确定焦点在哪一个坐标轴上,则双曲线的方程可设为=1(mn0)或mx2+ny2=1(mn0,b0且ab.()(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(3)若mx2+ny2=1表示双曲线,则mn0.()2.如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置?提示焦点F1,F2的位置是双曲线定
3、位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.重难探究能力素养全提升探究点探究点一一 求求双曲线的标准方程双曲线的标准方程角度1待定系数法求双曲线的标准方程【例1】根据下列条件,求双曲线的标准方程:(3)已知双曲线通过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.分析(1)中a的值确定,但是焦点位置不确定,因此结合a的值设出标准方程的两种形式,将点A的坐标代入求解;(2)由于焦点位置确定,因此可利用定义计算a,b或直接设出方程后求解;(3)双曲线焦点的位置不确定,因此可设一般方程求解.(2)(方法1待
4、定系数法)由题意知双曲线的焦点为(0,-3),(0,3).又a2+b2=9,解得a2=5,b2=4.(3)设所求双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0).将点M(1,1),N(-2,5)代入上述方程,规律方法待定系数法求双曲线标准方程的具体步骤 变式训练1求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=3,c=4,焦点在x轴上;(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上.解(1)由题设知,a=3,c=4,由c2=a2+b2,得b2=c2-a2=42-32=7.角度2定义法求双曲线的标准方程【例2】如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10 x+24=0,定圆F2:x2+y2-10 x+9=0,动
5、圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.分析 根据两圆相切的几何条件,列出动圆圆心M的关系式,根据关系式的特征求解.解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1.圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,|MF2|-|MF1|=310=|F1F2|.规律方法定义法求双曲线标准方程的方法(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.提醒确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.变式训练2
6、已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .解析设动圆圆心M(x,y),半径为r,因为圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,所以探究点探究点二二 双曲线双曲线定义的应用定义的应用【例3】若F1,F2是双曲线=1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)若点P是双曲线上的一点,且F1PF2=60,求F1PF2的面积.分析利用双曲线的标准方程求出2a,结合定义及已知条件求(1),而(2)可在F1PF2中结合定义利用余弦
7、定理求|PF1|PF2|.解(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知|MF2|-16|=6,即|MF2|-16=6,解得|MF2|=10或|MF2|=22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60,则102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,得|PF1|PF2|=64.变式探究若本例题中双曲线的方程不变,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线上一点P到焦点F1的距离为7,求|PF2|.由于|PF1|=7a+c=8,因此点P在双曲线的左支上,因此|PF2|
8、-|PF1|=6.结合|PF1|=7可知|PF2|=13.规律方法求双曲线中的焦点三角形PF1F2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|PF1|-|PF2|=2a;(2)利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;(3)通过配方,利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值;上,若|PF1|a+c,则点P在双曲线的两支上;若|PF1|0,解得k1或k-4,故实数k的取值范围是(-,-4)(1,+).规律方法方程表示双曲线的特征及方程表示某种曲线时参数的求解方法(1)对于方程=1,当mn0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程=
9、1,当mn0时表示双曲线.其中,当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m0,n0,解得k5或-2k2.本节要点归纳本节要点归纳1.知识清单:(1)双曲线的定义;(2)双曲线的标准方程.2.方法归纳:待定系数法、定义法求双曲线的标准方程,利用双曲线的定义求解双曲线的焦点三角形问题.3.注意事项:双曲线的定义中不但要求“到两定点距离差的绝对值是非零常数”,而且要求“该常数要小于两定点之间的距离”,用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用形如mx2+ny2=1(mn0)的形式求解.学以致用随堂检测全达标123451.已知F1(-
10、8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.直线D.一条射线D解析因为F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.故选D.123452.P是双曲线x2-y2=16左支上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则|PF1|-|PF2|=()A.4B.-4C.8D.-8D解析因为将双曲线方程x2-y2=16化为标准方程得=1,即a=4.所以|PF1|-|PF2|=2a=8,而点P在双曲线左支上,于是|PF1|PF2|,所以|PF1|-|PF2|=-8.故选D.123453.已知方程=1表示双曲线,则实数m的取值范围是()A.(-1,+)B.(2,+)C.(-,-1)(2,+)D.(-1,2)D解析方程=1表示双曲线,(m-2)(m+1)0,解得-1m2.m的取值范围是(-1,2),故选D.1234512345
