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1、课标要求1.掌握数列求和的方法;2.能够根据给定的数列,选择恰当的方法求和.重难探究能力素养全提升学以致用随堂检测全达标目录索引重难探究能力素养全提升探究点探究点一一 公式公式法求和法求和【例1】已知数列bn满足b1=1,bn+1=bn.(1)求bn的通项公式;(2)求b2+b4+b6+b2n的值.分析根据题意,判断出数列bn是等比数列,然后根据等比数列求和公式直接求解.规律方法公式法求和主要是利用以下两个基本公式:(1)等差数列的前n项和公式变式训练1在等差数列an中,公差d0,其前n项和为Sn,且a2a3=45,a1+a4=14.(1)求Sn;探究点探究点二二 裂裂项相消法求和项相消法求和
2、【例2】已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,2Sn=+an-2(nN+).(1)求证:数列an为等差数列;(2)记bn=,求数列bn的前n项和Tn.分析(1)利用an=Sn-Sn-1(n2),即可证明数列an为等差数列;(2)结合(1)中结论,利用裂项相消法即可求解.两式相减,化简整理得(an+an-1)(an-an-1-1)=0(n2),由an0,得an-an-1=1(n2).当n=1时,2S1=+a1-2,得a1=2(负值舍去),故数列an是首项为2,公差为1的等差数列.规律方法裂项相消法求和裂项相消法求和的实质是将数列中的项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的
3、,其解题的关键就是准确裂项和消项.(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项;前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.(3)常见的裂项方法 变式训练2已知数列an,其前n项和记为Sn,满足a2+a4=10,an+2=Sn+1-Sn.(1)求数列an的通项公式;解(1)因为Sn+1-Sn=an+1=an+2,所以an+1-an=2,即an是等差数列,且公差d=2.又a2+a4=2a1+4d=10,所以a1=1,所以an=1+2(n-1)=2n-1,即an=2n-1.探究点探究点三三 分组分组求和法求和法【例3】已知数列an
4、是等差数列,且a8=1,S16=24.(1)求数列an的通项公式an;(2)若等比数列bn是递增数列,且b1+b4=9,b2b3=8,求(a1+b1)+(a3+b3)+(a5+b5)+(a2n-1+b2n-1).分析 设数列an的公差为d,根据已知条件列关于a1和d的方程组,解方程组可得a1和d的值,即可得an的通项公式an;由等比数列的性质求得b1和b4的值,进而可得数列bn的公比和通项公式,最后分组求和.解(1)设等差数列an的公差为d,所以an=-6+(n-1)=n-7.规律方法分组求和法的解题策略当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又
5、构成等差数列或等比数列时,就可以用分组求和法,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.变式训练3在等差数列an中,a2+a6=-20,前10项和S10=-145.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an+bn是首项为1,公比为2的等比数列,求bn的前8项和.解(1)设等差数列an的公差为d,所以an=a1+(n-1)d=-3n+2.(2)由题意,an+bn=12n-1=2n-1,所以bn=2n-1+3n-2.所以bn的前8项和为(1+2+22+27)+(1+4+7+22)=255+92=347.探究点探究点四四 并并项转化法求和项转化法求和【例4】已知数列-1,4,-7,10,
6、(-1)n(3n-2),求其前n项和Sn.分析 该数列中正负项交替出现,且各项的绝对值构成等差数列,故可用并项转化法求和.变式探究本例中,将条件改为“已知数列an的前n项和Sn=1-5+9-13+(-1)n-1(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.所以S15=29,S22=-44,S31=61.故S15+S22-S31=-76.规律方法并项转化法求和的解题策略(1)一般地,当数列中的各项正负交替,且各项的绝对值成等差数列时,可以采用并项转化法求和.(2)在利用并项转化法求和时,因为数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行分类讨论,最终的结果往往可以用分段形式来表示.探究点探究点
7、五五 分类分类讨论法求解分段表示的数列的和讨论法求解分段表示的数列的和【例5】已知在数列an中,an=其前n项和为Sn.求:(1)S8,S15;(2)Sn.分析数列的通项公式为分段函数的形式,因此该数列的奇、偶项呈现不同的规律,奇数项是首项为1,公差为4的等差数列,偶数项为首项为9,公比为9的等比数列,在求和时,应对奇数项和偶数项分别求和.规律方法分段表示的数列的和的求法分段表示的数列求和的技巧性很强,一般是转化为等差数列与等比数列求解.解题时需要对数列的项数进行分类讨论.需要特别说明的是在分段表示的数列中,规律是隔项成等差数列或成等比数列,因此数列的公差或公比与平时的公差、公比有所不同,解题
8、时要特别留意.变式训练4已知正项等比数列an的前n项和为Sn,S3=7a1,且a1,a2+2,a3成等差数列.(1)求an的通项公式;解(1)设公比为q,因为S3=7a1,所以a1(1+q+q2)=7a1,又因为a10,所以1+q+q2=7,解得q=2或q=-3(舍).因为a1,a2+2,a3成等差数列,所以2(a2+2)=a1+a3,即2(2a1+2)=a1+4a1,解得a1=4.所以an的通项公式为an=42n-1=2n+1.学以致用随堂检测全达标123451.数列an的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S27=()A.-13B.13C.14D.-14C解析S27=1-2+3-4+5-6+25-26+27=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(25-26)+27=27-13=14.12345B12345C123454.已知在数列an中,a1=1,an=an-1+(n2),则数列an的前9项和S9等于.27123455.在各项都是正数的等比数列an中,a1=1,a9=4a7.(1)求数列an的通项公式;(2)记Sn为数列an的前n项和,若Sm=31,求正整数m的值.解(1)设等比数列an的公比为q,在各项都是正数的等比数列an中,a1=1,a9=4a7,数列an的通项公式an=2n-1.
