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1、在含有两个或两个以上字母的不等式中,若使用其它方法不能解决,可将一边整理为零,而另一边为某个字母的二次式,这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的,都可考虑使用判别式,但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。例1. 设:a、b、cR,证明:成立,并指出等号何时成立。解析:令 b、cR,0即:,恒成立。当0时,此时,时,不等式取等号。例2. 已知:且,求证: 。解析: 消去c得:,此方程恒成立,即:。同理可求得 构造函数逆用判别式证明不等式对某些不等式证明,若能根据其条件和结论,结合判别式的结构特征,通过构造二项平方和函数:由,得0,就可以使一些用一
2、般方法处理较繁琐的问题,获得简捷明快的证明。例3. 设且,求证:6。解析:构造函数: 由,得0,即.6.例4. 设且,求的最小值。解析:构造函数 由(当且仅当时取等号),得0,即144-4()0 当时, 构造函数证明不等式1、利用函数的单调性例5、巳知a、b、cR+,且a分析本题可以用比较法、分析法等多种方法证明。若采用函数思想,构造出与所证不等式密切相关的函数,利用函数的单调性来比较函数值而证之,思路则更为清新。证明:令 f(x)=,其中xR+ ,0a0y= 在R+上为减函数从而f(x)= 在R+上为增函数 m0 f(m) f(0)例6、求证: (a、bR)分析本题若直接运用比较法或放缩法,
3、很难寻其线索。若考虑构造函数,运用函数的单调性证明,问题将迎刃而解。证明令 f(x)=,可证得f(x)在0,)上是增函数(证略) 而 0 0 (x1,y1) 原不等式可变形为:Lga 令 f(x)= = 而 lgx0,lgy0, lg2x+lg2y 2lgxlgy 0 1 1f(x,y) 从而要使原不等式对于大于1的任意x与y恒成立,只需Lga即 a10即可。 故必存在常数a,使原不等式对大于1的任意x、y恒成立。3、运用函数的奇偶性 例9、证明不等式:0时,1-2x0 ,故f(x)0 当x0时,根据图象的对称性知f(x)0 故当 x0时,恒有f(x)0 即: (x0) 小结本题运用了比较法,实质是根据函数的奇偶性来证明的,本题也可以运用分类讨论思想。但利用偶函数的轴对称性和奇函数的中心对称性,常能使所求解的问题避免复杂的讨论。