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1、几何画板辅助高中数学教学的研究一、问题的提出新大纲明确指出“现代技术的使用将会深刻地影响数学教学内容、方法和目标的改变。”多媒体计算机的出现、网络技术的运用、信息时代的来临，正在给教育带来深刻的变化。教育技术的更新更新了教学手段、教学方法，教学模式正在发生变化，势必引起教学内容、教育思想、教学理论变革。随着计算机走进学校、家庭，教育也像经济一样，走向“全球一体化”，教室在“缩小”，但学校在“扩大”。正如比尔盖茨所说“你的工作场所和你关于教育的观念将被改变，也许改变得面目全非。”以多媒体计算机 核心的辅助教学的研究正在日益兴起，“一切有条件和能够创造条件的学校，都应使计算机及其网络成为数学课堂教
2、育的辅助工具”(新大纲)。不要夸大计算机的作用，但是更不能采取抵制态度、忽视计算机在教学中的作用。但如何搞好计算机辅助教学工作？这是每一个教师经常思考的，当然计算机辅助教学的优势及做法，从理论上讲已有许多论文、专著讲的头头是道，从实践上看，有许多成功之作，能让你五体投地。从这个意义上讲计算机辅助教学是一个不成问题的问题。但是从事这项工作的教师都知道这还是一个大问题。在如何评价计算机对高中数学教学的辅助作用时，一个不容回避的事实是，计算机对高中数学的影响并不大，计算机教育与数学教育还是严重脱节，绝大多数的数学课依旧是粉笔加黑板的传统教学模式。为什么计算机进入数学课堂的步履如此艰难呢? 原因至少有
3、以下几个：、没有充分考虑到怎样利用计算机技术才能和数学教学有机的结合起来。、在强调教育技术的同时没有充分考虑发挥教师的作用，、没有找准计算机技术与数学结合的契机。、部分数学教师掌握计算机的能力较弱。故难以把计算机技术和数学教学完美地结合起来。计算机辅助数学教学，不能完全照搬其它学科成功经验。数学学科的自身的特点限制了不可能在课堂上大量引入影视资料和音乐，不可能一面分析数学问题一面播放着音乐，也不能来一个从黑板到屏幕的大搬家。事实上数学是集严密性、逻辑性、精确性、创造性和想象力于一身的科学，数学教师在黑板上的作图、证明、解题的过程本身就是一个不可缺少示范教学过程，。同时数学是一个相对完备、封闭王
4、国，对数学定义来不得半点拓宽，对定理来不得半点变动。因此怎样将高科技的计算机技术与高中数学教学有机结合在一起，起到促进教育现代化的进程，一直是一个未彻底解决的问题。二、用几何画板辅助高中数学教学1.几何画板软件简介几何画板，顾名思义是“画板”，能画各种欧几里德几何图形；能画出解析几何中的所有二次曲线；也能画出任意一个初等函数的图象（给出表达式）。不仅如此，还能够对所有画出的图形、图象进行各种“变换”，如平移、旋转、缩放、反射等。几何画板还提供了“测量”、“计算”等功能，能够对所作出的对象进行度量，如线段的长度、弧长、角度、面积等等，并把结果动态地显示在屏幕上。几何画板所作出的几何图形是动态的，
5、可以在变动的状态下，保持不变的几何关系，比如，无论您拖动三角形的一个顶点怎么移动，任意一边上的高总保持与这边垂直。几何画板还能对动态的对象进行“跟踪”，并能显示该对象的“轨迹”，如点的轨迹、线的轨迹，形成曲线或包络，而且这种“跟踪”可以是人工的也可以是自动的。几何画板能把您认为不必要的对象“隐藏”起来，然后又可以根据需要“显示”出来。几何画板还能把您的画图工作制成为“脚本”，减轻您的工作量，如把您画正方体的过程记录下来，以后使用此“脚本”画正方体，只要两、三秒钟。2、几何画板在函数方面的初步应用 大家知道，指数函数y=ax (a0且a1)的图像，因a的取值不同它的图像产生不同的变化趋势。传统的
6、教法是老师要在黑板上或幻灯片分别作出若干个具体的图像，最后再“观察”总结归纳出指数函数的一般图像的变化规律和性质。事实上这个所谓的“观察”是老师告诉学生如何如何的结果。现在用几何画板作出课件指数函数的图像，上课时让学生自己动手拖动两个控制按钮a，就可以实现观察图像变化的整个过程，真正由学生自己通过观察归纳总结出指数函数图像在各种情况下的变化趋势和性质(如图一)。图二图一在使用几何画板之前，讲授 (a,bR)的图像时，老师告诉学生当a,b分别取何值时，该函数的图像是如何如何变化的，学生完全是靠记忆老师讲述的结果“掌握”知识的。所以，在实际解题应用时，经常因为单调区间不清楚而出错。使用几何画板给学
7、生演示的图像，使学生真正观察到了当a0且b0、a0且b0、a0、a0且b0时的四类图像的变化过程，同时还观察到了每类图象的渐近线。特别是对于 xc,d的单调区间、最值问题有了一个更形象直观的认识。每当学生遇到这样的问题时，就可以在大脑里自动生成具有动感的图像，为理解题意、分析问题、打开了一个方便之门(如图二)。 在讲授函数yAsin(x+)+k的图像时，要用几个课时的时间分别对A、k的不同取值做出图象，然后再“观察”总结，没有动态的演示，没有更多的比较、更多的探索。现在用几何画板展示y=Asin(x+)+k的图像，让学生分别拖动控制按钮A、K，就可以真正观察到函数图像生成的变化过程及结果。学生
8、间可以很好的“协作”，容许学生对一切想探试的值进行探试，来加深对这一问题的认识。仅用一课时就可以完成教学任务、实现教学目标(如图三)。 图三3 、几何画板在解析几何教学中的初步应用 用几何画板展示直线、圆、圆锥曲线非常方便。用几何画板展示曲线关于某点某线的对称图形让学生一目了然，也可以用几何画板展示习题。如，一个定圆C半径为r，圆C上一动点P关于定点A的对称点为Q，将CP按逆时针方向绕C点旋转90度，得到圆C上另一个点M，试求MQ的最值，以及是否存在r使M、Q两点重合的问题。让学生做出这个课件，只需拉动点P在圆C上滑动，或让P在C上动画，就可以直观形象地观察出P在何时MQ最大或最小.,再通过拖
9、拉按钮r，可以看出确实存在r的某一个值，使M、Q重合。这样以来学生对习题有了一个图象形成和变化的过程，为利用代数方法的计算提供了一个动画思维的基础(如图四)。 在课件抛物线的性质中，通过动画给学生展示了以抛物线过焦点的弦为直径的圆总与其准线相切；以焦半径为直径的圆总与过顶点且垂直于对称轴的直线相切的“活图”。有了这样的动画思维，进而激发学生自己动手用所学的知识证明这一图象事实的兴趣。 图四图五4、几何画板在立体几何的初步应用 几何画板绘制各种立体图形非常直观，可以解决学生从平面图形向立体图形、从二维空间向三维空间过渡的难题。因为它确实能把一个“活”的立体图形展现在学生的眼前。为培养学生的空间想
10、象能力开辟了一条捷径。 几何画板对图形的可控变功能为一图多用提供了一宽松的环境，可以减少大量的不必要的重复做图。如在教授棱柱、棱锥、棱台时，我制作了课件柱锥台，上课时只需要通过控制按钮改变所需多面体的棱数、观察视角及柱锥台的相互转化、倾斜程度。还可以分别度量高、面积和体积。通过几何画板可以将原来黑板或幻灯片上的“死图象”变成一个“活图象”，真正把学生引入数形的世界。几何画板减少了许多不必要的重复劳动，节省了课堂时间，提高了上课时间的利用率，为提高45分钟的授课质量奠定了基础(如图六)。图六 5.运用几何画板，突破教学难点在数学中引入坐标，数和形就统一起来了。有些数量关系借助图形的性质，可以形象
11、、直观地表现出来，同样一些图形的性质，借助数量的计算也可以显示出来。因此每位教师都非常重视数形结合的教学，上课时尽量地画好图形，力求使图形展现出其变化的趋势。但是无论怎么画，怎么用一个又一个的幻灯片给学生展示，也只能给出一个“死图”，如若加上教师生动的语言描述，还可以使部分有图像想象能力的学生在大脑中产生“活图”。但对另一部分学生就达不到预期的目的，也只有靠死记硬背老师所讲述的结论来“掌握”知识。使用几何画板，才真正实现了有形有色有声有变化过程的“活”的图形的数形结合的教学美梦，下面以几何画板在平面解析几何中的应用为例说明运用几何画板如何突破教学难点。平面解析几何教学中，由于受工具、课时或时空
12、等诸多因素的局限，数与形的结合过程往往不好表现，效果不尽人意。曲线作为动点的运动轨迹只能依靠想象，方程作为变量间的数量关系也只能依赖示意图。这种“一本书、一张嘴、粉笔加黑板”的教学模式，不仅教师教得苦、学生学得累，而且难以发现变化的图形中，恒定不变的几何规律。运用“几何画板”神奇的测算本领和绝妙的动态模拟，创设问题情景，激发学生学习兴趣，突破用传统教学手段不好解决的教学难点，对提高课堂教学的时效大有脾益。(1)、运用几何画板，突出概念的形成过程曲线的方程和方程的曲线是解析几何的重要概念，理解辨析“两个关系”是教学的难点，学生不理解规定“曲线上点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲
13、线上”的意义何在，各自起何作用，只从字句上死记硬背，或干脆认为同义反复，随后面对充分必要条件、轨迹的纯粹性完备性等一系列数学抽象学生更加费解，以至于高三总复习时，还有相当一部份学生对90全国高考题：(A) f (B) (2,3) (C) (2,3) (D) (x,y)|y=x+1无法进行正确选择。 例1 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1(3,4)， M2(-2,2) 是否在这个圆上。借助“几何画板”平台，通过上例引出两个关系，直观表示概念的形成过程。正面演示：在O：x2+y2=25上任取一点P，“测算”坐标值后计算平方和，显示x02+yO2=25，制作
14、动画让点P沿O移动，学生观察到随点P的运动其坐标值自动更新，但x02+yO2=25保持不变。另一方面，选中两端点在x轴上的O直径，在其上任取一点P，“测算”该点横坐标x，计算作为纵坐标y，绘制点M、M/，缓缓拖动点P，容易发现点M、M/总在O上。这样通过上述的动态模拟，用学生的亲身体验建立起“曲线上的点”与“方程的解”之间的对应关系，完成对“两个关系”的意义构建。构造反例：方程(1) (2) x4-y4+25y2-25x2=0 是否表示O的方程？学生从直觉上判断应该不是。教师要求用“两个关系”加以验证：当点P在下半圆运动时，存在曲线上混有坐标不是方程(1)的解的点；用方程(2)的解绘制点，发现
15、曲线上缺漏坐标是方程(2)的解的点。从中领悟到二者缺一不可的道理，这将有助于学生理解，有助于学生通其法知其理。 引入计算机辅助教学，数与形的转换变得简单易行，从静态到动态,从特殊到一般，从正面到反面,弄清概念含义，让学生逐步通过自己的发现去学习数学，从中深刻揭示概念的本质属性。(2)、运用“几何画板”，展示公式的推导公式应用公式解题时，学生逆用、变用公式的能力总是显得薄弱，分析几何量时，潜意识地用特殊位置的图形进行思维，对变式图的判断亦总是出错，究其原因，与我们在公式推导证明教学中缺乏变换数式与图形的情境不无关系。与只重结果忽视证明过程中蕴含的数学思想方法不无关系。教材中为降低难度，一般只画出一两个代表图形作为推导的载体，教师或因节省课时或因无法展示全部无奈以依此类推，同理可证而一笔带过。事实是学生对特殊位置（如第一象限内）获得的公式仍存有余虑，几乎没有学生会认真去依此进行类推，同理继续论证、导致以偏概全，产生误解在所难免。“几何画板”可以作为你的有力助手，容许你对一切想考虑的各种情况进行观察验证，来全方位多角度地审视问题的全貌，弄清公式的来龙去脉。例2 求点到直线的距离。PQM辅助线PM0y是怎样想出来的？这是教学难点。首先在“几何画板”平台上构造直线l及l外一点P，任取l
