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1、浅谈“旋转变换”法在解题中的应用惠阳区第一中学 翟志强二一一年九月浅谈“旋转变换”法在解题中的应用惠阳区第一中学 翟志强“旋转变换”在平面几何解题中有着重要的应用，特别是对有关三角形、四边形等一类问题的求解，这里谈的“旋转变换”指的就是平面图形绕定点的旋转，因此，在一般情况下，其图形的形状和大小均不改变。一、以三角形为基础的图形的旋转变换例1、已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF如图（1）放置点B，D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，C=EFB=900，E=ABC=30，AB=DE=4。（1）求证：EGB是等腰三角形；（2）若纸片DEF不动，问ABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边
2、形ACDE成为以ED为底的梯形，如图（2），求此梯形的高。证明：（1）如图1，在RtDEF中，EFB=90，E=300，EDF=60，又ABC=30，EBG=EBFABC=30EG=BG图1EGB是等腰三角形，解（2）30（度）。 （事实上，如图2，BFD=30，EDF=60，DHC=90=ACB。ACDE. 又ACDE，四边形ACDE是梯形。）设BC与ED交于H，DFB为30旋转角，又EDF=60，DHF=90，DF=2，图2FH=DFsinEDF=2sin60=在RtABC中，AB=4，AC=2，BC=2又BF=DF=2，CF=2-2梯形的高=2-2+=3-2例2，图中是一副三角板，45的
3、三角板RtDEF的直角顶点恰好在30的三角板，RtABC斜边AB的中点处，A=30，E=45，EDF=ACB=90，DE交AC于点G，GMAB于M。（1）如图当DF经过点C时，作CN于N，求证：AM=DN。（2）如图，当EDF经D点旋转，DFAC时，DF交BC于H，作HNAB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由。（1）证明：A=30，ACB=90，D是AB的中点BC=BD，B=60 BCD是等边三角形。又CNDB，DN=DBEDF=90，BCD是等边三角形ADG=30，而A=30GA=GDGMABAM=AD 图3又AD=DB AM=DN （2）解：DFACHDB=A=30，AGD=GDH=
4、90，ADG=60 B=60，AD=DB，ADGDBHAG=DH，又HDN=A，GMAB，HNAB，AMGDNH 图4AM=DN。二、以四边形为基础的图形的旋转变换。例3、已知顺正方形ABCD内有AEF，AEF=45，E、F分别在BC，CD上任意滑动，如图5，求证：（1）AEF的高AH为定值，D和B点重合时，因为EAF=45，F和C重合；E和C重图5合时，F和D重合，因此，可以猜想AEF的高AH是正方形的边长。证明：把ABE绕A点按逆时针方向旋转90，在正方形外的ADG、则AE=AG，FAE=EAF=45，所以AEFAGF，故AH=AD。 例4、四边形ABCD为任意四边形，以其边四各向四边到外
5、侧作正方形，如图6，设P、Q、R、S为四个正方形的中心，求证：PRQS，PR=QS证明：以D为旋转中心，把ADF按顺时方向旋转90得EDC，则AF=EC，AFEC，连接AC，取AC中点M，连接MA、MQ、MR、MP，因为MSEC，MRAF，所以MS=MR，MSMR，同理MP=MQ，MPMQ。图6以M为中心，把MPR按逆时针方向旋转90得MSQ，则有PRQS，PR=QS。本题稍为复杂一点，要通过两次旋转变换解得。 从以上数例可知，以三角形、四边形为基础的图形旋转变换，一般步骤是：（1）确定旋转中心，（2）确定旋转对象（即被变换的图形），（3）确定旋转的方向和角度（常用300、600、900等特殊
6、角）。例5，在ABC中，点D是AB边的中点，E，F分别是AC，BC上的点。证明：DEF的面积不超过ADE和BDF的面积之和（如图7）。分析：考虑如何把ADE和BDF拼成一块图形，然后和DEF的面积比较。图7证明：以D为对称中心，把ADE旋转180变换成BDE1，则四边形BFDE1是凸四边形，所以SADE + SBDF=SBDE+ SBDF = S四边形BFDE SDEF= SDEF（当E和A重 合或F和B重合时，上式取等号）。例6，已知M是RtABC斜边BC的中点，P，Q分别在AB，AC上，且PMQM，求证：PQ2=PB2+QC2（如图8）。分析：能否使PB，QC，PQ构成一个Rt的三边是解题的关键，考虑到PMQM，MA=BC，故以M为中心，把AMQ图8旋转180得AMQ.证明：因为AA=BC，且互相平分，所以AQAQ，ABAB，且O在AB上，连接PQ， 因为PMQQ，MQ=MQ，所以PQ=PQ， 以BQ=CQ，故在RtPBQ中有：PQ2=PB2+OB2，即PQ2+PB2+QC2。通过以上例题分析，可知旋转变换在平几解题中如能恰当而灵活地应用，会使部分难题化难为易，迎刃而解，虽然它在解析几何、复数领域内有着更广泛的应用，但在平面几何中较早地应用这种方法解题，将会有助于学生开拓思路，提高兴趣，增强能力，为今后的学习打下良好的基础。二一一年九月6
