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1、 双垂直图形在圆中的应用 在圆中，双垂直图形是一个很重要的基本图形，其中隐含的性质很多，解题的思路很广，特别是在遇到有直角、圆的直径、圆的切线以及垂直于直径的弦时，很有可能构造成这种图形，并且最近从2006年到2011年间的成都中考次压轴题中，六道题中则有四道题涉及到了双垂直图形（06年、07年、10年和11年），利用了射影定理，所以有必要专门来解决这类与双垂直图形有关的圆的题型。一、复习引入：如图，在ABC中，ACB=90 CD（1）当A=65，你能求出哪些角的度数？（2）当AC=3 BC=4求AB、CD的长射影定理：二、例题讲解：题型一、与直径有关的双垂直图形在圆中的应用例1、如图AB是O
2、的直径，C是O的一点，ABCD于点D（1）图中直角三角形有 个（2）若A=40则BCD= 。（3）已知AC=6，O的半径为5，则CD= 。练习1、如图所示，AB是O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个2、如图，O的直径AB垂直于弦CD，点P是上一点（点P不与A、C两点重合），连结PC、PD、PA、AD，点 E在AP的延长线上，PDA与AB交于点F，给出下列四个结论：；EPC=APD，其中正确的个数是 （ ） A1 B2 C3 D43、（成都2006）已知：如图，O与A相交于C，D两点，A，O分别是两圆的圆心，ABC内接于O，弦CD
3、交AB于点G，交O的直径AE于点CDE，连接BD（1）求证：ACGDBG；（2）求证：AC2=AGAB；（3）若A，O的直径分别为 ，15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的长题型二、与切线有关的双垂直图形在圆中的应用例2. 如图，ABC内接于O，AB是直径，BE与O相切于点B，A=30，BC=4 cm，则切线BE的长为 。 练习1、已知，如图， AB为O的直径，AE 交O于点C ，过点C 作弦CDAB垂足为点，连接BC、BE且A=CBE（1）求证：BE是O的切线（2）BC=4，BD2，求O的半径 2、已知，如图，BC是以线段AB为直径的O的切线，AC交O于点D，过点D作弦DEAB垂足为点F
4、，连接BE、BD（1）A=30，CD ，求O的半径r （2）AD=12,BD=5，求DE的长 3、如图，AB是O的直径，CD是O的切线，切点为C延长AB交CD于点E连接AC，作DAC=ACD，作AFED于点F，交O于点G（1）求证：AD是O的切线；（2）如果O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长4、如图，AB是O的的直径，BCAB于点B，连接OC交O于点E，弦AD/OC,弦DFAB于点G。 （1）求证：点E是的中点； （2）求证：CD是O的切线； （3）若，O的半径为5，求DF的长。例3、如图，PA、PB是O的两条切线，A、B是切点，直线OP交O于点D，交AB于点C。(1)写出图中所有的垂
5、直关系(2)写出图中所有的全等三角形(3)写出图中所有的相似三角形(4)写出图中所有的等腰三角形 练习1、如图：AE、BF分别切O于A、B，且AEBF，EF切O于C。试证： AB是O的直径； OEOF； OC是AE、BF的比例中项 (4)若O的半径为6，点C分半圆为1:2两部分，求AE、BF的长。(5)若以BF、BA所在的直线分别为x轴、y轴，B为原点，请求出EF所在直线的函数解析式。2、如图，已知RtABC外切于O，E、F、H为切点，ABC=90，直线FE、CB相交于D点，连接AO、HE、HF，则下列结论：EFH=45；FEH=45+FAO；BD=AF；DH2=AODF其中正确结论的个数为（
6、）A、1个B、2个 C、3个D、4个解：（详细过程）题型三、双垂直图形在圆中的综合应用例4、如图，已知：PA切O于A，割线PBC交O于B，C，PDAB于D，延长PD交AO的延长线于E，连接CE并延长，交O于F，连接AF（1）求证：PDPE=PBPC；（2）求证：PEAF；（3）连接AC，若AE：AC=1： ，AB=2，求EF的长练习、（成都2011）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作O，O经过B、D两点，过点B作BKAC，垂足为K过D作DHKB，DH分别与AC、AB、O及CB的延长线相交于点E、F、G、H（1）求证：AE=CK；（2）如果AB=a，AD= （a为大于零的常数），求BK的长：（3）若F是EG的中点，且DE=6，求O的半径和GH的长
